Όριο με αρμονικά

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4451
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο με αρμονικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Αύγ 11, 2020 3:50 pm

Έστω \mathcal{H}_n ο n- οστός αρμονικός όρος. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell  = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \mathcal{H}_n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \mathcal{H}_k  \right )}
Αυτή η δημοσίευση θα ναι και η τελευταία μου για το καλοκαίρι. Θα παρακολουθώ το :logo: ως επισκέπτης αλλά δυστυχώς επαγγελματικές μου δραστηριότητες δε μου αφήνουν πολύ χρόνο να ασχολούμαι με το :logo: αν και έχω αρκετό υλικό. Θα επιστρέψω πάλι δριμύτερος στο μέλλον.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο με αρμονικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Αύγ 11, 2020 4:21 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Αύγ 11, 2020 3:50 pm
Έστω \mathcal{H}_n ο n- οστός αρμονικός όρος. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell  = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \mathcal{H}_n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \mathcal{H}_k  \right )}
Από Cesaro και από τον ορισμό της σταθεράς Euler–Mascheroni έχουμε ότι το αριστερό μέλος ισούται

\displaystyle{ \left ( \mathcal{H}_n -\ln n \right ) - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left ( \mathcal{H}_k -\ln k  \right )+ \ln n - \frac{1}{n} \ln n!}

Οι δύο πρώτοι όροι τείνουν στο \gamma -\gamma =0, οπότε μένει να βρούμε το όριο της \displaystyle{\ln n - \frac{1}{n} \ln n!}. Μας το δίνει εύκολα ο τύπος του Stirling, \displaystyle{\ln n!= n\ln n -n +O(\ln n)}, από όπου το όριο είναι +1.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4451
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όριο με αρμονικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Αύγ 11, 2020 5:47 pm

Να το συνεχίσουμε λίγο; Αν και δεν χρειάστηκε κάπου ας δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \mathcal{H}_k = \left ( n + 1 \right ) \left ( \mathcal{H}_{n+1} - 1  \right )}
Καλή συνέχεια σε όλα τα μέλη του :logo: . Εις το επανιδείν.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο με αρμονικά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Αύγ 11, 2020 11:50 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Αύγ 11, 2020 5:47 pm
Να το συνεχίσουμε λίγο; Αν και δεν χρειάστηκε κάπου ας δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \mathcal{H}_k = \left ( n + 1 \right ) \left ( \mathcal{H}_{n+1} - 1  \right )}
Ας κάνουμε δύο πράγματα: α) Την απόδειξη του παραπάνω και β) λύση της αρχικής άσκησης με χρήση αυτού (που είναι αρκετά απλούστερο, αφού γλυτώνομε την σταθερά Euler-Mascheroni και τον τύπο του Stirling).

α) Με επαγωγή: Για το επαγωγικό βήμα αφού ελέγξουμε την περίπτωση n=1 (άμεσο), έχουμε

\displaystyle{\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1} \mathcal{H}_k = \sum_{k=1}^{n+1} \mathcal{H}_k + \mathcal{H}_{n+1} =  \left ( n + 1 \right ) \left ( \mathcal{H}_{n+1} - 1  \right )+ \mathcal{H}_{n+1}=  (n+2) \mathcal{H}_{n+1} - (n+1)}

\displaystyle{  (n+2)\left ( \mathcal{H}_{n+2}- \dfrac {1}{n+2} \right )  - (n+1) =  (n+2) \mathcal{H}_{n+2} -1- (n+1)= (n+2)\left ( \mathcal{H}_{n+2}-1 \right )  }, όπως θέλαμε.

β) \displaystyle{ \displaystyle{ \mathcal{H}_n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \mathcal{H}_k }=\mathcal{H}_n -\dfrac {n+1}{n} \left ( \mathcal{H}_{n+1} - 1  \right )} = \mathcal{H}_n -\dfrac {n+1}{n} \left ( \mathcal{H}_{n} + \dfrac {1}{n+1}- 1  \right )= } }

\displaystyle{ =  -\dfrac {1}{n} \mathcal{H}_{n} +1 \rightarrow 1} διότι \displaystyle{\dfrac {1}{n} \mathcal{H}_{n}\sim \dfrac {\ln n}{n}\rightarrow 0}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης