διακριτή μετρική

[tractatus]

καλησπέρα, για οποίον έχει χρόνο και θέλει να βοηθήσει
Έστω είμαι στον να βρεθεί το εσωτερικό του Α

Λύση:
θα δείξω ότι το είναι ανοικτό σύνολο
έστω
τότε αφου Α ανοιχτό έχω από πρόταση ότι
είναι η λύση μου σωστή-ολοκληρωμένη ?

[tractatus]

ερώτηση : αυτό σημαίνει ότι το σύνορο του Α είναι το κενό?

[Mihalis_Lambrou]

Η λύση είναι σωστή αλλά και εύκολα γενικεύσιμη. Ας δούμε τι πραγματικά τρέχει: Με την διακριτή μετρική όλα τα σύνολα είναι ανοικτά (και άρα όλα κλειστά). Άρα , και λοιπά.

Με άλλα λόγια, αυτά που γράφεις είναι μεν σωστά, αλλά και πλατειάζουν λόγω του ότι η γενίκευση είναι απλή και γνωστότατη.

ερώτηση : αυτό σημαίνει ότι το σύνορο του Α είναι το κενό?

Εφόσον το σύνορο είναι η απάντηση είναι ναι, το σύνορο είναι κενό. Σπεύδω να προσθέσω ότι πρέπει να αποκτήσεις την αυτοπεποίθηση ώστε να απαντάς μόνος σου σε τόσο απλά ερωτήματα, χωρίς να χρειαστεί να ρωτάς το φόρουμ.

[tractatus]

ευχαριστώ για την απάντηση, έχετε δίκαιο απλός θέλω να σιγουρεύω τα αποτελέσματα μου στα βασικά κομμάτια για να μπορώ να συνεχίζω στα δυσκολότερα(όπως καταλαβαινετε δεν υπάρχει δια ζωσης παράδοση και δεν μπορώ να ρωτάω τους καθηγητές μου,για αυτό πολλές φόρες ρωτάω εδώ ακόμα και αυτά τα άπλα,κατανοώ ότι δεν είναι μέσα στο πνεύμα του φόρουμ άλλα ίσως υπάρχουν και φοιτητές μέσα που να θέλουν να απαντήσουν ) επίσης η διακριτή μετρική μου φάνηκε κάπως περίεργη διότι δεν είχα ξανασηναντησει κενό σύνορο και ήρθε κόντρα στην διαίσθηση μου.

[Mihalis_Lambrou]

ευχαριστώ για την απάντηση, έχετε δίκαιο απλός θέλω να σιγουρεύω τα αποτελέσματα μου στα βασικά κομμάτια για να μπορώ να συνεχίζω στα δυσκολότερα(όπως καταλαβαινετε δεν υπάρχει δια ζωσης παράδοση και δεν μπορώ να ρωτάω τους καθηγητές μου,για αυτό πολλές φόρες ρωτάω εδώ ακόμα και αυτά τα άπλα,κατανοώ ότι δεν είναι μέσα στο πνεύμα του φόρουμ άλλα ίσως υπάρχουν και φοιτητές μέσα που να θέλουν να απαντήσουν ) επίσης η διακριτή μετρική μου φάνηκε κάπως περίεργη διότι δεν είχα ξανασηναντησει κενό σύνορο και ήρθε κόντρα στην διαίσθηση μου.

Κανένα πρόβλημα να ρωτάς εδώ. Χαρά μας να απαντάμε για να μαθαίνεις. Αυτό που λέω για αύξηση της αυτοπεποίθησης είναι μία παράλληλη πλευρά.

Με την ευκαιρία: Πρέπει να βελτιώσεις και τα Ελληνικά σου. Το παραπάνω είναι απίστευτα ασύντακτο, με μία μόνο τελεία, στο τέλος. Έχεις έξι ειδικές προτάσεις, σε μία μεγάλη παράγραφο! Δεν στέκει.

Άσκηση για σένα, δεδομένου ότι γράφεις ότι δεν έχεις ξανασυναντήσει κενό σύνορο: Βρες ένα σύνολο σε έναν δεδομένο Μετρικό Χώρο, το οποίο είναι ανοικτό και κλειστό (οποιαδήποτε και αν είναι η μετρική, όχι κατ' ανάγκη η διακριτή). Ένα τέτοιο σύνολο είναι βέβια το κενό σύνολο, αλλά βρες άλλο. Μετά βρες το σύνορο αυτού του συνόλου.

[tractatus]

Ζήτω συγγνώμη για την σύνταξη, έχω δυσλεξία και παραπλήσιες μαθησιακές δυσκολίες και όταν γράφω βιαστικά πολλά δεν βγάζουν νόημα.
Αυτη την στιγμή δεν μου έρχονται apriori τέτοια σύνολα η όσα μου έρχονται μοιάζουν πολύ στην διακριτή μετρική πχ ( ,άλλα νομίζω αυτό που θέλετε να πείτε είναι ότι μπορούμε γενικεύσουμε την προηγούμενη άσκηση και να πούμε ότι κάθε σύνολο που είναι και ανοιχτό και κλειστό σε έναν μετρικό χώρο έχει κενό σύνορο.

[Mihalis_Lambrou]

νομίζω αυτό που θέλετε να πείτε είναι ότι μπορούμε γενικεύσουμε την προηγούμενη άσκηση και να πούμε ότι κάθε σύνολο που είναι και ανοιχτό και κλειστό σε έναν μετρικό χώρο έχει κενό σύνορο.

Όχι, δεν λέω αυτό. Μάλλον δεν έγινα κατανοητός. Το γράφω ξανά αλλά με άλλα λόγια.

Έστω μετρικός χώρος . Να βρεθεί μη κενό υποσύνολο του που είναι ανοικτό και κλειστό.

Η απάντηση είναι τετριμμένη (ποια είναι;). Το νόημα της ερώτησης είναι να σου δείξω (το τετριμμένο) ότι υπάρχουν και άλλα σύνολα (μάλιστα σε οποιονδήποτε Μετρικό Χώρο) που είναι σίγουρα ανοικτά και κλειστά (και άρα έχουν κενό σύνορο).

[Mihalis_Lambrou]

Έστω μετρικός χώρος . Να βρεθεί μη κενό υποσύνολο του που είναι ανοικτό και κλειστό.

Η απάντηση είναι τετριμμένη (ποια είναι;).

tractatus, δεν πρέπει να υπάρχει καμία δυσκολία γι' αυτήν την άσκηση.

Ας δώσω τουλάχιστον την απάντηση εν αναμονή απόδειξης: Ο ίδιος ο είναι και ανοικτό και κλειστό σύνολο σε κάθε Μετρικό Χώρο.

[tractatus]

Το σκέφτηκα αλλά μετά μου ήρθε στο μυαλό αυτό το παράδειγμα ([0,1],d) και δεν μπορούσα να δείξω ότι είναι και κλειστό και ανοιχτο. (Εκτός και αν το κενό σύνολο είναι και αυτό κλειστό και ανοιχτο το ίδιο, γιατί στις σημειώσεις μου αναφέρεται εξ ορισμού ως ανοιχτό )

[tractatus]

Τώρα που το ξανασκέφτηκα λίγο ..., το κενό είναι εξ ορισμού ανοιχτό, το συμπλήρωμα του (το κενό έξω το κενο ) είναι πάλι το κενό σύνολο και αφού το συμπλήρωμα είναι ανοιχτό τότε το κενό είναι κλειστό. Εν γένη ο θα είναι η κλειστό η ανοιχτό σύνολο, αν είναι κλειστό τότε το συμπλήρωμα ( ) όπου το κενό είναι κλειστό άρα ο ανοιχτό. Ομοίως αν είναι ανοιχτό.

[Mihalis_Lambrou]

Έχεις τρομερές συγχύσεις και θα σε συμβούλευα να ξεκαθαρίσεις τις έννοιες. Για παράδειγμα το

το συμπλήρωμα του (το κενό έξω το κενο ) είναι πάλι το κενό σύνολο

είναι πάρα πολύ λάθος

Εν γένη ο θα είναι η κλειστό η ανοιχτό σύνολο,

Φαίνεται να νομίζεις ότι, εν γένει, ένα σύνολο είναι ή κλειστό ή ανοιχτό. Δεν αληθεύει.

αν είναι κλειστό τότε το συμπλήρωμα ( ) όπου το κενό είναι κλειστό άρα ο ανοιχτό. .

Δύο σοβαρά λάθη εδώ. Το σοβαρότερο από τα δύο είναι ότι μπερδεύεις το ικανό με το αναγκαίο.

Κάνε άλλη μία προσπάθεια αλλά παρακαλώ όχι επιφανειακή. Το ερώτημά μου είναι ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΑΠΛΟ (τετριμμένο) και δεν βλέπω πώς ε'ιναι δυνατόν να πνίγεσαι σε μισή κουταλιά νερό. Επαναλαμβάνω, πρέπει να κάνεις ένα σοβαρό ξεκαθάρισμα ιδεών.

[tractatus]

Φαίνεται να νομίζεις ότι, εν γένει, ένα σύνολο είναι ή κλειστό ή ανοιχτό. Δεν αληθεύει.

μπορείτε να εξηγήσετε τι εννοείτε ? ο δηλαδή μπορεί να μην είναι τίποτα από τα δυο ?

Το ερώτημά μου είναι ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΑΠΛΟ (τετριμμένο)

δυστυχώς δεν βλέπω κάποια τετριμμένη απάντηση.

πνίγεσαι σε μισή κουταλιά νερό

ομολογώ πως αυτό το ακούω από το γυμνάσιο. Δεν είναι ολοι οι άνθρωποι ίδιοι για μερικούς το πιο απλό που το βλέπουν ολοι δεν είναι τόσο ξεκάθαρο και καταλήγουν να πνίγονται σε μια κουταλιά νερό, άλλοι είναι πιο μεθοδικοί με ξεκάθαρη σκέψη ενώ άλλοι έχουν περισσότερη φαντασία.

«το Α συμβαίνει αν και μόνο αν συμβαίνει το Β» «Το Α αποτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη για το Β.» αυτές οι δυο προτάσεις είναι ισοδύναμες
δεν νομίζω οτι μπερδεύω αυτό αλλά τον ορισμό του ανοιχτού με του κλειστού , οπου λέει οτι το λέγεται κλειστό αν το ειναι ανοιχτο.

[Mihalis_Lambrou]

Δύσκολα θα μπορέσω να εξηγήσω από το πληκτρολόγιο αφού και στην ανταπάντησή σου φαίνεται ότι δεν έχεις κατανοήσει τα σχόλιά μου. Μακάρι να μπορούσα, αλλά είναι ευκολότερο να τα δεις μόνος σου στα βιβλία που σου έχει δώσει το Τμήμα.

Το γεγονός ότι το είναι ανοικτό (που βέβαια είναι απλούστατο) σίγουρα υπάρχει στο βιβλίο σου. Ρίξε μια ματιά. Αν δεν το βρεις, πες μας το βιβλίο που ακολουθείς για να εντοπίσουμε το σημείο εμείς, και να σε παραπέμψουμε.

[tractatus]

Το βιβλίο που έχω για το μάθημα είναι το εξής "Πραγματική Ανάλυση" των: Μιχάλη Ανούσης, Αντώνης Τσολομήτης, Βαγγέλης Φελουζής.
Για τα κλειστά- ανοιχτά αναφέρει τα εξής στις σελίδες 37-38
1)Σε κάθε μετρικό χώρο ισχύουν τα παρακατω(37 σελίδα )
Το κενό και το είναι ανοιχτά σύνολα
Αποδείξελη: Άμεση από τον ορισμό του ανοιχτού συνόλου
2)Σε κάθε μετρικό χώρο ισχύουν τα παρακάτω(38 σελιδα)
Το κενό και το είναι κλειστά συνολα.
Αποδειξη: έπεται από τους κανόνες De Morgan , την προηγούμενη πρόταση και τον ορισμό του κλειστού

[Mihalis_Lambrou]

Το κενό και το είναι ανοιχτά σύνολα
Αποδείξελη: Άμεση από τον ορισμό του ανοιχτού συνόλου

Όπως λέω τόσην ώρα, έτσι και οι Ανούσης, Τσολομήτης, Φελουζής, το θέμα είναι ΑΜΕΣΟ. Το ονόμασα τετριμμένο. Το ίδιο πράγμα.

Άντε λοιπόν να δούμε πώς αποδεικνύεται. Δεν γίνεται πιο απλό. Σηκώνω τα χέρια ψηλά. Είναι το -ο ποστ και ακόμα στα ίδια βρισκόμαστε.

[Mihalis_Lambrou]

Άντε λοιπόν να δούμε πώς αποδεικνύεται.

tractatus, καμιά πρόοδος εδώ;

[tractatus]

Σε έναν μετρικό χώρο o είναι πάντα ανοικτός (γιατι;)
διότι για κάθε και αυτό λέει ότι για κάθε στοιχείο του η ανοιχτή μπάλα αυτού του στοιχείου δεν ''βγαίνει'' ποτέ έξω από το σύνολο γιατί αποτελείται από τα άρα για κάθε σημείο η ανοιχτή μπάλα του είναι είναι υποσύνολο και από τον ορισμό του ανοιχτού έχουμε ότι ανοιχτός.

Το εξ ορισμού είναι ανοιχτό. Το συμπλήρωμα του είναι ο ίδιος ο ο οποίος δείξαμε ότι είναι ανοιχτός άρα αφού το συμπλήρωμα του είναι ανοιχτό σύνολο το είναι κλειστό.

Το συμπλήρωμα του τώρα είναι το το οποίο είναι ανοιχτό και από τον ορισμό του κλειστού ο κλειστός.

Αυτό που δεν μπορούσα να καταλάβω ήταν πως γίνεται για οποιοδήποτε η μπάλα του να ανήκει εξ ολοκλήρου στο και μην βγαίνει έξω από το σύνολο. Το οποίο δεν είναι καθόλου προφανές αν δεν ξέρεις αυτό .

[Mihalis_Lambrou]

[stranger]

Σε έναν μετρικό χώρο o είναι πάντα ανοικτός (γιατι;)
διότι για κάθε και αυτό λέει ότι για κάθε στοιχείο του η ανοιχτή μπάλα αυτού του στοιχείου δεν ''βγαίνει'' ποτέ έξω από το σύνολο γιατί αποτελείται από τα άρα για κάθε σημείο η ανοιχτή μπάλα του είναι είναι υποσύνολο και από τον ορισμό του ανοιχτού έχουμε ότι ανοιχτός.

Το εξ ορισμού είναι ανοιχτό. Το συμπλήρωμα του είναι ο ίδιος ο ο οποίος δείξαμε ότι είναι ανοιχτός άρα αφού το συμπλήρωμα του είναι ανοιχτό σύνολο το είναι κλειστό.

Το συμπλήρωμα του τώρα είναι το το οποίο είναι ανοιχτό και από τον ορισμό του κλειστού ο κλειστός.

Αυτό που δεν μπορούσα να καταλάβω ήταν πως γίνεται για οποιοδήποτε η μπάλα του να ανήκει εξ ολοκλήρου στο και μην βγαίνει έξω από το σύνολο. Το οποίο δεν είναι καθόλου προφανές αν δεν ξέρεις αυτό .

Εδώ αξίζει να προσθέσουμε ότι τα ταυτόχρονα ανοιχτά και κλειστά σύνολα(clopen στα αγγλικά) σχετίζονται άμεσα με την συνεκτικότητα του χώρου .
Μια πρόταση στην τοπολογία(αν σε μπερδεύει η τοπολογία πάρε μετρικούς χώρους) λέει ότι ο χώρος είναι συνεκτικός αν και μόνο αν τα υποσύνολα του που είναι ταυτόχρονα ανοιχτά και κλειστά είναι μόνο το και ο (τα οποία είναι ανοιχτά και κλειστά σε κάθε χώρο).
Η συμβουλή μου είναι να κοιτάξεις τους συνεκτικούς χώρους.

[tractatus]

Εδώ αξίζει να προσθέσουμε ότι τα ταυτόχρονα ανοιχτά και κλειστά σύνολα(clopen στα αγγλικά) σχετίζονται άμεσα με την συνεκτικότητα του χώρου .
Μια πρόταση στην τοπολογία(αν σε μπερδεύει η τοπολογία πάρε μετρικούς χώρους) λέει ότι ο χώρος είναι συνεκτικός αν και μόνο αν τα υποσύνολα του που είναι ταυτόχρονα ανοιχτά και κλειστά είναι μόνο το και ο (τα οποία είναι ανοιχτά και κλειστά σε κάθε χώρο).
Η συμβουλή μου είναι να κοιτάξεις τους συνεκτικούς χώρους.

Την συγκεκριμένη πρόταση την έχουμε δεί για τούς μετρικούς χώρους, γιατί την συνεκτικότητα την μελετάμε σε αυτούς όπως και την συμπάγεια.