Σύγκλιση σειράς

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σύγκλιση σειράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Οκτ 28, 2020 9:14 am

Για v =\langle x_1, x_2, \dots, x_n \rangle \in \mathbb{R}^n ορίζουμε \left \| v \right \|_p = \left ( \sum \limits_{i=1}^{n} \left | x_i \right |^p \right )^{1/p} και \left \| v \right \|_{\infty} = \max \limits_{1 \leq i \leq n} \left | x_i \right |. Για ποια v συγκλίνει η σειρά \displaystyle{\sum_{p=1}^{\infty} \left ( \left \| v \right \|_p - \left \| v \right \|_{\infty} \right )} ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13013
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 20, 2020 11:22 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 9:14 am
Για v =\langle x_1, x_2, \dots, x_n \rangle \in \mathbb{R}^n ορίζουμε \left \| v \right \|_p = \left ( \sum \limits_{i=1}^{n} \left | x_i \right |^p \right )^{1/p} και \left \| v \right \|_{\infty} = \max \limits_{1 \leq i \leq n} \left | x_i \right |. Για ποια v συγκλίνει η σειρά \displaystyle{\sum_{p=1}^{\infty} \left ( \left \| v \right \|_p - \left \| v \right \|_{\infty} \right )} ;
.
Για v=0, συγκλίνει, οπότε ας δούμε τι γίνεται αν ||v||>0.

Επειδή το ||v||_{\infty} είναι κάποιος από τους όρους  |x_1|, |x_2|, \dots,| x_n|\,(*), είναι \left \| v \right \| _p - \left \| v \right \|_{\infty}\ge 0 (άμεσο).

Θα δείξουμε ότι η σειρά α) συγκλίνει αν κάποιος από τους όρους (*) είναι γνήσια μεγαλύτερος από τους άλλους (δηλαδή το ||v||_{\infty} πιάνεται ακριβώς μία φορά) και β) αποκλίνει αλλιώς (δηλαδή αν το ||v||_{\infty} πιάνεται δύο ή περισσότερες φορές).

α) Στην πρώτη περίπτωση χωρίς βλάβη ||v||_{\infty} = |x_1|> |x_k| για k=2,...,n. Επίσης χωρίς βλάβη |x_k|>0 για k=2,...,n (αλλιώς όσα είναι 0 τα διώχνουμε μια και δεν συνεισφέρουν στο άθροισμα). Άρα υπάρχουν d_2,...,d_n>0 τέτοια ώστε για k=2,...,n είναι

\displaystyle{ \dfrac {|x_k|}{||v||_{\infty} }= \dfrac {|x_k|}{|x_1|}= \dfrac {1}{1+d_k}} οπότε και

\displaystyle{ \dfrac {|x_k|^p}{||v||_{\infty} ^p}=\dfrac {1}{(1+d_k)^p} \le \dfrac {1}{1+pd_k}\le \dfrac {1}{pd_k}}, οπότε

\displaystyle{ \left \| v \right \| _p - \left \| v \right \|_{\infty}= \left \| v \right \|_{\infty}\left ( 1+\sum _{k=2}^n \dfrac {|x_k|^p}{||v||_{\infty} ^p} \right )^{1/p} - \left \| v \right \|_{\infty} \le \left \| v \right \|_{\infty}\left ( 1+\sum _{k=2}^n  \dfrac {1}{pd_k\right )^{1/p} - \left \| v \right \|_{\infty} = }

\displaystyle{ = \left \| v \right \|_{\infty}\left ( 1+  \dfrac {A}{p}\right )^{1/p} - \left \| v \right \|_{\infty} = \left \| v \right \|_{\infty} e^ {\frac {1}{p} \ln \left ( 1+  \dfrac {A}{p}\right ) }- \left \| v \right \|_{\infty}= \left \| v \right \|_{\infty} e^ { \frac {A}{p^2} +\big O (1/p^3)\right ) } - \left \| v \right \|_{\infty}= }

\displaystyle{  =\left \| v \right \|_{\infty}\left  ( 1 + \dfrac {A}{p^2} +\big O (1/p^3)\right ) \right ) } - \left \| v \right \|_{\infty} =\dfrac {B}{p^2} +\big O (1/p^3) }

και άρα η αρχική σειρά συγκλίνει.

β) Αφού το \left \| v \right \|_{\infty} πιάνεται τουλάχιστον δύο φορές, έχουμε

\displaystyle{ \left \| v \right \| _p - \left \| v \right \|_{\infty}\ge  \left \| v \right \|_{\infty}\left ( 1^p+1^p \right )^{1/p} - \left \| v \right \|_{\infty}=\left \| v \right \|_{\infty}e^{\frac {1}{p} \ln 2}  - \left \| v \right \|_{\infty} =\left \| v \right \|_{\infty}\left ( 1 + \dfrac {\ln 2}{p} + \big O (1/p^2) \right )   - \left \| v \right \|_{\infty} = }

\displaystyle{= \dfrac {B}{p} + \big O (1/p^2)}

και άρα η αρχική σειρά αποκλίνει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης