Συστολή

tractatus · #1

Καλησπέρα , θα μπορούσε κάποιος να μου δώσει μια βοήθεια στην παρακάτω άσκηση.

Έστω $T:(C[0,a],\left \| \cdot \right \|) \rightarrow (C[0,a],\left \| \cdot \right \|)$ με $T(f(x))=1+\int_{0}^{x}f(t)dt ,\: 0<a<1$ να δείξετε οτι

είναι συστολή και συνεχής.

Έχω μερικές ερωτήσεις: (1) τι ακριβώς είναι το C[0,a]

?
(2) αν το C[0,a]

είναι συμπαγές τότε η

δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής άρα και συνεχής επίσης αφού θα είναι και συστολή ξέρω από θεώρημα οτι θα είναι και ομοιομ. και συνεχής, άρα υποθέτω οτι θέλει να δείξω ότι είναι συνεχής χωρίς αυτά τα θεωρήματα?
(3) δεν αναφέρει ποια νόρμα είναι αυτή, να φανταστώ εννοεί την $\left \| f \right \|_{\infty }=sup\left \{ \left | f(t):0\leq t\leq a \right | \right \}$ ?

Όσο αναφορά την λύση έκανα κάτι τέτοιο:

$\left | T(f)- T(g)\right |=\left | 1+\int_{0}^{x}f(t)dt-1-\int_{0}^{x}g(t)dt\right |\leq \left | \int_{0}^{x}f(t)-g(t)dt\right |\leq \int_{0}^{x}\left | f(t)-g(t)dt \right |$ προσπαθώντας κάπως να φτάσω στο $\leq a\left \|f-g \right \|$ σκέφτηκα κάπως θα πρέπει να εμφανίζεται και το

γιατί μου το δίνει σε κατάληλες ανισότητες για να υπάρξει συστολή ,δεν βλέπω όμως πως. Δοκίμασα να χρησιμοποιείσω μερικές κλασικές ανισότητες όπως η cauchy schwarz αλλά δεν βλέπω να κολλάει κάπως γιατί δεν έχω γινόμενο κάπου , ούτε να εμφανίσω εύκολα μπορώ.

Ευχαριστώ.

BAGGP93 · #2

Γεια χαρά. Το $C(\left[0,a\right])$ είναι ο γραμμικός χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων $f:\left[0,a\right]\to \mathbb{R}$ . Η νὀρμα που γράφεις είναι η σωστή. Για να αποδείξεις ότι η

είναι συστολή, πρέπει να αποδείξεις ότι $d(T(f),T(g))=||T(f)-T(g)||_{\infty}\leq ||f-g||_{\infty}=d(f,g)$

Στο σημείο που έχεις γράψει $|T(f)(x)-T(g)(x)|\leq \int_{0}^{x}|f(t)-g(t)|dt$ σκέψου τι σχέση έχει το

με το $||f-g||_{\infty}$ και θα το βρεις.

Το γεγονός ότι η

είναι συνεχής προκύπτει από τη σχέση $d(T(f),T(g))\leq d(f,g)$ για κάθε $f\,,g\in C(\left[0,a\right])$

tractatus · #3

ευχαριστώ για την απάντηση ,
η νόρμα είναι το sup αρα θα είναι πάντα μεγαλύτερο απο το απόλυτο ετσι? δηλαδή $\left | f(t)-g(t) \right |\leq \left \| f-g \right \|_{\infty }$ αυτό το γνώριζα και πρίν αλλά πως θα το συνδέσω με το $\int_{0}^{x}\left | f(t)-g(t)dt \right |$ στο οποιο εχω καταλήξει?

BAGGP93 · #4

Ισχύει, $\displaystyle{\int_{0}^{x}|f(t)-g(t)|dt\leq \int_{0}^{x}||f-g||_{\infty}dt=x\,||f-g||_{\infty}\leq a\,||f-g||_{\infty}<||f-g||_{\infty}}$

tractatus · #5

α κατάλαβα ωραία απλά ολοκληρώνουμε την ανισότητα μια απορία μόνο γιατι το ολοκλήρωμα της νόρμας ισούτε με αυτο $x\left \| f-g \right \|$ θεωρούμε το $\left \| f-g \right \|$ σταθερό ως προς

? επειδή η νόρμα νόμιζα είναι μεταβλητή δηλαδή $\left \| f(t)-g(t) \right \|$ απλά επειδή το sup είναι σταθερός αριθμός μάλλον ?

#6

tractatus έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 31, 2020 5:01 pm
... δηλαδή $\left | f(t)-g(t) \right |\leq \left \| f-g \right \|_{\infty }$ αυτό το γνώριζα ...

Εξ ορισμού.

Συστολή

Συστολή

Re: Συστολή

Re: Συστολή

Re: Συστολή

Re: Συστολή

Re: Συστολή

Μέλη σε σύνδεση