Υπολογισμός αθροίσματος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Υπολογισμός αθροίσματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Πέμ Νοέμ 12, 2020 8:37 pm

Να υπολογιστεί η σειρά(εφόσον και εάν συγκλίνει):
\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \Bigg( e - \Big( 1 + \frac{1}{n} \Big)^{n} \Bigg) }



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 12, 2020 8:54 pm

Η σειρά αποκλίνει. Γενικότερα , θα μελετήσουμε τη σύγκλιση της σειράς

\displaystyle{\mathcal{S}_\alpha = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( e - \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^{n+\alpha}  \right )}
Απόδειξη: Η σειρά συγκλίνει για \alpha=\frac{1}{2}. Πράγματι, παρατηρούμε ότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\log \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n +a} &= \frac{n+\alpha}{n+\frac{1}{2}} \left ( n + \frac{1}{2} \right )\log \left(1 + \frac{1}{n} \right)\\ 
&=\frac{n+\alpha}{n+\frac{1}{2}} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} +\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3} \right) \right)  \\  
&= \frac{n+\alpha}{n+\frac{1}{2}}\left(1 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2} \right) \right) \\  
&= \left(1 + \frac{\alpha - 1/2}{n + 1/2} \right)\left(1 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2} \right) \right) 
\end{aligned} }
καθώς,

\displaystyle{\begin{aligned} 
e- \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+\alpha} &= e - \exp \left(1 + \frac{\alpha -\frac{1}{2}}{n + \frac{1}{2}} +  \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \\  
 &= \frac{e \left (\frac{1}{2}-\alpha  \right )}{n + \frac{1}{2}} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2} \right)  
\end{aligned}}

Παλιότερα θέμα εδώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Πέμ Νοέμ 12, 2020 10:31 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 8:54 pm
Η σειρά αποκλίνει. \leftarrow( Με πιο ακριβώς κριτήριο διαπιστώνεται η απόκλιση της σειράς ; )


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13338
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 13, 2020 12:16 am

TrItOs έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 10:31 pm

Η σειρά αποκλίνει. \leftarrow( Με πιο ακριβώς κριτήριο διαπιστώνεται η απόκλιση της σειράς ; )
Είναι ΠΟΛΥ απλό να δείξεις ότι η σειρά με γενικό όρο \displaystyle{  \frac{e \left (\frac{1}{2}-\alpha  \right )}{n + \frac{1}{2}}  } όπου a\ne 1/2, αποκλίνει.

Το βάζω άσκηση σε σένα. Δεν υπάρχει βιβλίο Απειροστικού Λογισμού χωρίς να αναφέρεται διεξοδικά σε τέτοιες σειρές. Μόνο τα νούμερα αλλάζουν.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες