Υπολογισμός αθροίσματος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Υπολογισμός αθροίσματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Πέμ Νοέμ 26, 2020 6:30 pm

Να υπολογιστεί το άθροισμα
 \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{\displaystyle{\Big( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \Big)^{n}}}{\displaystyle{n^{3}}}
Ερώτημα : Τι συμβαίνει με τον αριθμό  \frac{3-\sqrt{5}}{2} (τον έχω συναντήσει και σε άλλα προβλήματα, υπάρχει κάτι σχετικά με αυτόν τον αριθμό) ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13338
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:13 pm

TrItOs έγραψε:
Πέμ Νοέμ 26, 2020 6:30 pm

Ερώτημα : Τι συμβαίνει με τον αριθμό  \frac{3-\sqrt{5}}{2} (τον έχω συναντήσει και σε άλλα προβλήματα, υπάρχει κάτι σχετικά με αυτόν τον αριθμό) ;
Αν βοηθάει, είναι ίσος με τον αριθμό \dfrac {1}{\phi ^2} , όπου \phi η χρυσός αριθμός. Δηλαδή \displaystyle{\phi = \dfrac {1+\sqrt 5}{2}}.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 26, 2020 8:02 pm

TrItOs έγραψε:
Πέμ Νοέμ 26, 2020 6:30 pm
Να υπολογιστεί το άθροισμα
 \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{\displaystyle{\Big( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \Big)^{n}}}{\displaystyle{n^{3}}}
Ερώτημα : Τι συμβαίνει με τον αριθμό  \frac{3-\sqrt{5}}{2} (τον έχω συναντήσει και σε άλλα προβλήματα, υπάρχει κάτι σχετικά με αυτόν τον αριθμό) ;

Η συνάρτηση \mathrm{Li}_3 ορίζεται ως

\displaystyle{\mathrm{Li}_3(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^3}}
Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται τριλογάριθμος. Η συνάρτηση αυτή έχει ωραίες ιδιότητες μία εκ των οποίων είναι η ακόλουθη:

\displaystyle{\mathrm{Li}_{3}(z) + \mathrm{Li}_{3}(1-z)+ \mathrm{Li}_{3}\left(1 - \frac{1}{z}\right) = \zeta(3) + \frac{\ln^{3} z }{6}+ \frac{\pi^2 \ln z}{6}- \frac{\ln^2 z  \ln(1-z)}{2} \quad , \quad  z \in \left ( -1 , \frac{1}{2} \right ] }
Για z=\frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{\varphi^2} έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathrm{Li}_3 \left ( 1 - \frac{1}{\varphi^2} \right ) + \mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2} \right ) + \mathrm{Li}_3 \left ( 1 - \frac{1}{1-\frac{1}{\varphi^2}} \right ) &= \mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2}  \right ) + \mathrm{Li}_3 \left ( 1 - \frac{1}{\varphi^2}  \right ) + \mathrm{Li}_3 \left ( -\left ( 1 - \frac{1}{\phi^2} \right ) \right ) \\  
 &=\mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2}  \right ) + \frac{1}{4} \mathrm{Li}_3 \left ( \left ( 1 - \frac{1}{\varphi^2} \right )^2 \right ) \\  
 &=\frac{5}{4} \mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2} \right ) 
\end{aligned}}
όπου στη δεύτερη γραμμή χρησιμοποιήσαμε μία άλλη γνωστή σχέση της τριλογαρίθμου \displaystyle{\mathrm{Li}_3(z)+\mathrm{Li}_3(-z) = \frac{1}{4} \mathrm{Li}_3(z^2) }. Τέλος, για z=\frac{1}{\varphi^2} η πρώτη σχέση ( γνωστής και ως Landen ) δίδει

\displaystyle{\mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2} \right ) = \frac{4 \zeta(3)}{5}+\frac{2 \ln^3 \varphi}{3}-\frac{2\pi^2 \ln \varphi}{15}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Πέμ Νοέμ 26, 2020 9:02 pm

\displaystyle{\mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2} \right ) = \frac{4 \zeta(3)}{5}+\frac{2 \ln^3 \varphi}{3}-\frac{2\pi^2 \ln \varphi}{15}} Πολύ ωραία σας ευχαριστώ. Γνωρίζετε αν επιλύετε με κάποιο πιο στοιχειώδη τρόπο, ευχαριστώ και πάλι για την βοήθεια.


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Πέμ Νοέμ 26, 2020 9:06 pm

Οπότε έχουμε ότι:
\sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{\displaystyle{\Big( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \Big)^{n}}}{\displaystyle{n^{3}}} = \frac{4 \zeta(3)}{5}+\frac{2 \ln^3 \varphi}{3}-\frac{2\pi^2 \ln \varphi}{15}} \quad , \quad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

Πολύ ωραία σας ευχαριστώ. Γνωρίζετε αν επιλύετε με κάποιο πιο "στοιχειώδη" τρόπο, ευχαριστώ και πάλι για την βοήθεια.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 26, 2020 9:28 pm

Όταν εννοείς πιο στοιχειώδη , τι εννοείς; Είναι ήδη στοιχειώδης η αντιμετώπιση. Η τριλογάριθμος είναι ήδη καλομελετημένη συνάρτηση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες