Ισότητα ολοκληρωμάτων

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ωστε $f(x + \pi ) = f(x -\pi) = f(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x }$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 11:12 am
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ωστε $f(x + \pi ) = f(x -\pi) = f(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x }$

Χμμμ. Κάποιο τυπογραφικό θα υπάρχει, εκτός αν δεν βλέπω κάτι.

Για f(x)=1

το αριστερό μέλος (που ανήκει στην οικογένεια ολοκληρωμάτων Fresnel) ισούται με $\dfrac {\sqrt {2\pi}}{2}$ , ενώ το δεξί $\pi$ . Χάνω κάτι;

Edit: Προσοχή, δεν είναι σωστό το σχόλιο που γράφω (βλέπε τα παρακάτω ποστ). Όμως, από ότι φαίνεται, η άσκηση ούτως ή άλλως δεν είναι σωστή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 12:21 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 11:12 am
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ωστε $f(x + \pi ) = f(x -\pi) = f(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x }$
Χμμμ. Κάποιο τυπογραφικό θα υπάρχει, εκτός αν δεν βλέπω κάτι.

Για το αριστερό μέλος (που ανήκει στην οικογένεια ολοκληρωμάτων Fresnel) ισούται με $\dfrac {\sqrt {2\pi}}{2}$ , ενώ το δεξί $\pi$ . Χάνω κάτι;

Συμφωνώ ότι σίγουρα υπάρχει τουλάχιστον τυπογραφικό.
Αλλά

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx={\int_{0}^{\infty} \sin^2 x}(-\frac{1}{x})' dx={\int_{0}^{\infty} \frac{\sin 2 x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 2:37 pm

Συμφωνώ ότι σίγουρα υπάρχει τουλάχιστον τυπογραφικό.
Αλλά

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx={\int_{0}^{\infty} \sin^2 x}(-\frac{1}{x})' dx={\int_{0}^{\infty} \frac{\sin 2 x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$

Έχεις δίκιο. Το σφάλμα είναι μικρότερο/διαφορετικό από ότι νόμιζα. Αυτό που έγραψα είναι από παρανάγνωση του ολοκληρώματος

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x^2}{x^2} \, \mathrm{d}x$ (της οικογένειας Fresnel) στην θέση του οπτικά παρεμφερούς

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x$ .

#5

Ας επισημάνω ότι, κατά τα φαινόμενα, άσκηση είναι ανοικτή.

Δεν την προσπάθησα αλλά αντιλαμβάνομαι ότι το $\dfrac {1}{2}$ που λείπει στο παραπάνω παράδειγμα, της f(x)=1

, δεν φαίνεται να σώζει την κατάσταση. Εξετάζοντας με χρήση λογισμικού την $f(x)= \sin (2x)$ (που ικανοποιεί τις υποθέσεις), για να δω αν το $\dfrac {1}{2}$ επαρκεί, βρίσκω πως δεν κάνει:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \sin (2x) \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \ln 2$ ενώ

$\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \sin (2x) \, \mathrm{d}x }=0}$ .

Κάνω λάθος;

Tolaso J Kos · #6

Η λύση που έχω δει πάει ως εξής

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2}\, \mathrm{d}x &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{k \pi}^{(k+1) \pi} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2}\, \mathrm{d}x \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\pi} f \left ( t + k \pi \right ) \frac{\sin^2 \left ( t + k \pi \right )}{\left ( t + k \pi \right )^2} \, \mathrm{d}t \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\pi} f(t) \frac{(-1)^{2k} \sin^2 t}{\left ( t + k \pi \right )^2} \, \mathrm{d}t \\ &=\int_{0}^{\pi} f(t) \sin^2 t \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left ( t + k \pi \right )^2} \, \mathrm{d}t \\ &= \int_{0}^{\pi} f(t) \, \mathrm{d}t \end{aligned}}$
Δε βλέπω να έχω κάνει λάθος αντιγραφή της εκφώνησης. ... Αλλά βλέποντας και τη λύση αρχίζω να πιστεύω ότι το πρόβλημα είναι στο κάτω άκρο του ολοκληρώματος. Μάλλον η σχέση θα πρέπει να είναι

$\displaystyle{\int_{{\color{red}{-\infty}}}^{\infty} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Ευχαριστώ τον κ. Μιχάλη που έκρουσε τον κώδωνα του κινδύνου.

Ισότητα ολοκληρωμάτων

Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση