Άθροισμα σειράς

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\alpha, \beta >0$ . Αν $\left( \alpha-\beta \right)^2=5\alpha \beta$ τότε να υπολογιστεί η σειρά

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n+\beta^n}{\left(\alpha+\beta \right)^n}}$

#2

Με $m=\frac{\alpha }{\beta }$ η αρχικη συνθήκη μας δίνει $\allowbreak m^{2}-7m+1=0$ που έχει ρίζες θετικές και αντίστροφες με άθροισμα

.
Το άθροισμα της σειράς, αν οι υπολογισμοί μου είναι σωστοί, είναι $\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left( \frac{m}{m+1}\right) ^{n}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{m+1}\right) ^{n}=\allowbreak m+\frac{1}{m}$ δηλαδή

.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 22, 2020 11:48 pm
Έστω $\alpha, \beta >0$ . Αν $\left( \alpha-\beta \right)^2=5\alpha \beta$ τότε να υπολογιστεί η σειρά

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n+\beta^n}{\left(\alpha+\beta \right)^n}}$

Χάνω κάτι; Πρόκειται για δύο γεωμετρικές προοόδους που αθροίζονται απλούστατα και χωρίς την συνθήκη. Μας αρκεί, π.χ., a,b>0

$\displaystyle{S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\left(\alpha+\beta \right)^n}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\beta^n}{\left(\alpha+\beta \right)^n}}= \dfrac {\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta }}{1- \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta }}+ \dfrac {\dfrac{\beta }{\alpha+\beta }}{1- \dfrac{\beta}{\alpha+\beta } }=\dfrac {\alpha^2+\beta ^2}{\alpha \beta}}$

Τώρα, αν ακόμη βάλουμε και την συνθήκη $\displaystyle{ \left( \alpha-\beta \right)^2=5\alpha \beta}$ , ισοδύναμα $\displaystyle{\alpha ^2+\beta ^2=7\alpha \beta}$ , η τιμή που βρήκαμε ισούται με

. Το τελευταίο αυτό βήμα είναι τελείως περιθωριακό, και δεν προσθέτει τίποτα επί της ουσίας στην άσκηση. Περιττή τεχνιτή προσθήκη.

Edit: Με πρόλαβε ο Νίκος, όσο έγραφα. Το αφήνω.

Άθροισμα σειράς

Άθροισμα σειράς

Re: Άθροισμα σειράς

Re: Άθροισμα σειράς

Μέλη σε σύνδεση