Άθροισμα σειράς

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Άθροισμα σειράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 22, 2020 11:48 pm

Έστω \alpha, \beta >0 . Αν  \left( \alpha-\beta \right)^2=5\alpha \beta τότε να υπολογιστεί η σειρά

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n+\beta^n}{\left(\alpha+\beta \right)^n}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4350
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα σειράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Δεκ 23, 2020 12:21 am

Με m=\frac{\alpha }{\beta } η αρχικη συνθήκη μας δίνει \allowbreak m^{2}-7m+1=0 που έχει ρίζες θετικές και αντίστροφες με άθροισμα 7.
Το άθροισμα της σειράς, αν οι υπολογισμοί μου είναι σωστοί, είναι \sum\limits_{n=1}^{\infty }\left( \frac{m}{m+1}\right) ^{n}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{m+1}\right) ^{n}=\allowbreak m+\frac{1}{m} δηλαδή 7.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13287
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα σειράς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 23, 2020 12:32 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Δεκ 22, 2020 11:48 pm
Έστω \alpha, \beta >0 . Αν  \left( \alpha-\beta \right)^2=5\alpha \beta τότε να υπολογιστεί η σειρά

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n+\beta^n}{\left(\alpha+\beta \right)^n}}
Χάνω κάτι; Πρόκειται για δύο γεωμετρικές προοόδους που αθροίζονται απλούστατα και χωρίς την συνθήκη. Μας αρκεί, π.χ., a,b>0

\displaystyle{S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\left(\alpha+\beta \right)^n}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\beta^n}{\left(\alpha+\beta \right)^n}}= \dfrac {\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta }}{1- \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta }}+ \dfrac {\dfrac{\beta }{\alpha+\beta }}{1- \dfrac{\beta}{\alpha+\beta } }=\dfrac {\alpha^2+\beta ^2}{\alpha \beta}}

Τώρα, αν ακόμη βάλουμε και την συνθήκη \displaystyle{ \left( \alpha-\beta \right)^2=5\alpha \beta}, ισοδύναμα \displaystyle{\alpha ^2+\beta ^2=7\alpha \beta}, η τιμή που βρήκαμε ισούται με 7. Το τελευταίο αυτό βήμα είναι τελείως περιθωριακό, και δεν προσθέτει τίποτα επί της ουσίας στην άσκηση. Περιττή τεχνιτή προσθήκη.

Edit: Με πρόλαβε ο Νίκος, όσο έγραφα. Το αφήνω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης