Όριο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \left ( \int_{-\infty}^{1-\varepsilon} + \int_{1+\varepsilon}^{\infty} \right ) \frac{x}{x^3-1}\, \mathrm{d}x }$

BAGGP93 · #2

Έλα Τόλη Καλημέρα. Για $x\neq 1$ μπορούμε να γράψουμε

$\displaystyle{\dfrac{x}{x^3-1}=\dfrac{1}{3}\,\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{3}\,\dfrac{x-1}{x^2+x+1}}$

οπότε σε ένα διάστημα $\Delta$ που δεν περιέχει το

ολοκληρώνουμε και έχουμε

$\begin{aligned} \int \dfrac{x}{x^3-1}\,\mathrm{d}x&=\dfrac{1}{3}\int \dfrac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x-\dfrac{1}{3}\,\int \dfrac{x-1}{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x\\&=\dfrac{1}{3}\,\int \dfrac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x-\dfrac{1}{6}\,\int \dfrac{(2\,x+1)-3}{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x\\&=\dfrac{1}{3}\,\int \dfrac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x-\dfrac{1}{6}\,\int \dfrac{2\,x+1}{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x+\dfrac{2}{3}\,\int \dfrac{1}{1+((2\,x+1)/\sqrt{3})^2}\,\mathrm{d}x\\&=\dfrac{1}{3}\,\ln\,|x-1|-\dfrac{1}{6}\,\ln\,(x^2+x+1)+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\left(\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}}\right)+c\,,c\in\mathbb{R}\\&=\dfrac{1}{3}\,\ln\,\dfrac{|x-1|}{\sqrt{x^2+x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\left(\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}}\right)+c\,,c\in\mathbb{R}\end{aligned}$

Έπειτα ολοκληρώνουμε για $\epsilon>0$ στα $\left(-\infty,1-\epsilon\right)$ και $\left(1+\epsilon,+\infty\right)$ αντίστοιχα χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι

$\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}\dfrac{|x-1|}{\sqrt{x^2+x+1}}=1\,\,,\lim_{x\to +\infty}\dfrac{|x-1|}{\sqrt{x^2+x+1}}=1}$

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση