Αναδρομική

mick7 · #1

Να βρείτε τις λύσεις της αναδρομικής σχέσης που ορίζεται από

1) $\displaystyle a_{o}=0$

2) $\displaystyle a_{1}=sina$

3) $\displaystyle a_{n+2}=2cosa\cdot a_{n+1}-a_{n}$

με περιορισμούς

α) $\displaystyle n\geq0$

b) $\displaystyle a\neq n\pi$

#2

mick7 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 12, 2021 3:22 pm
Να βρείτε τις λύσεις της αναδρομικής σχέσης που ορίζεται από

1) $\displaystyle a_{o}=0$

2) $\displaystyle a_{1}=sina$

3) $\displaystyle a_{n+2}=2cosa\cdot a_{n+1}-a_{n}$

με περιορισμούς

α) $\displaystyle n\geq0$

b) $\displaystyle a\neq n\pi$

Tι ακριβώς εννοείς με την φράση "τις λύσεις"; Υποθέτω ότι εννοείς να βρούμε τον γενικό όρο σε κλειστή μορφή (άλλωστε μία είναι η μορφή οπότε ούτε ο πληθυντικός στο "λύσεις" χρειάζεται). Προχωρώ με αυτό κατά νου.

Με χρήση του $2\sin A \cos B = \sin (A+B) + \sin (A-B)$ . Θα δείξουμε με ισχυρή επαγωγή ότι $a_n= \sin (na)$ . Πράγματι, για n=0, n=1

ισχύει. Για το επαγωνικό βήμα υποθέτοντας ότι ισχύει για όλους τους $n\le N$ έχουμε

$a_{N+1}= 2\cos a \cdot a_{N} - a_{N-1}= 2\cos a \sin (Na) - \sin ((N-1)a) =$

$= [\sin ((N+1)a) + \sin (N-1)a) ]-\sin ((N-1)a) = \sin ((N+1)a)$ , όπως θέλαμε.

H υπόθεση $a\neq n\pi$ δεν χρειάστηκε.

Αναδρομική

Αναδρομική

Re: Αναδρομική

Μέλη σε σύνδεση