Σειρά με πολυλογάριθμο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4620
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σειρά με πολυλογάριθμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 27, 2021 9:06 pm

Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathrm{Li}_n(1) - 1 \right) = 1}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13384
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σειρά με πολυλογάριθμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 28, 2021 2:24 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Μαρ 27, 2021 9:06 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathrm{Li}_n(1) - 1 \right) = 1}
Είναι απλό. Υπενθυμίζω τον τύπο του πολυλογάριθμου, που είναι

Li_n(1) = 1+ \dfrac {1}{2^n} + \dfrac {1}{3^n}+ \dfrac {1}{4^n}+...

Με αυτό κατά νου αθροίζουμε κατά στήλες (ως γεωμετρικές προόδους) το παραπάνω άθροισμα:

..\displaystyle{\, \dfrac {1}{2^2} + \dfrac {1}{3^2}+ \dfrac {1}{4^2}+... }
\displaystyle{+\dfrac {1}{2^3} + \dfrac {1}{3^3}+ \dfrac {1}{4^3}+... }
\displaystyle{+\dfrac {1}{2^4} + \dfrac {1}{3^4}+ \dfrac {1}{4^4}+... }

\displaystyle{\,.\,.\,.\,.\,. }

\displaystyle{= \dfrac {1}{1\cdot 2}+  \dfrac {1}{2\cdot 3}+  \dfrac {1}{3\cdot 4}+...}

\displaystyle{= \left ( \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2} \right ) + \left ( \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3} \right ) + \left ( \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4} \right ) +...}

\displaystyle{=1}.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4620
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με πολυλογάριθμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 28, 2021 11:20 pm

Ναι εύκολη είναι. Και αλλιώς. Επειδή \displaystyle \zeta(n) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^n} έχουμε διαδοχικά:


\displaystyle{\begin{aligned}  
\sum_{n=2}^{\infty} \left ( \mathrm{Li}_n(1) - 1 \right ) &= \sum_{n=2}^{\infty} \left ( \zeta(n) - 1 \right ) \\  
&= \sum_{n=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^n} \\ &=\sum_{k=2}^{\infty} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{k^n} \\  
&= \sum_{k=2}^{\infty} \left ( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right ) \\  
&= 1  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13384
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σειρά με πολυλογάριθμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μαρ 29, 2021 1:04 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μαρ 28, 2021 11:20 pm
Και αλλιώς.
Χμμμμ. Δεν βλέπω γιατί είναι αλλιώς. Εγώ την βλέπω ΑΚΡΙΒΩΣ την ίδια,

Τώρα, αν κανείς νομίζει ότι η αλλαγή σειράς άθροισης είναι κάτι διαφορετικό από το να γίνει η οριζόντια άθροιση, κάθετη, είναι άλλη ιστορία.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες