Σειρά με πολυλογάριθμο

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathrm{Li}_n(1) - 1 \right) = 1}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 27, 2021 9:06 pm
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathrm{Li}_n(1) - 1 \right) = 1}$

Είναι απλό. Υπενθυμίζω τον τύπο του πολυλογάριθμου, που είναι

$Li_n(1) = 1+ \dfrac {1}{2^n} + \dfrac {1}{3^n}+ \dfrac {1}{4^n}+...$

Με αυτό κατά νου αθροίζουμε κατά στήλες (ως γεωμετρικές προόδους) το παραπάνω άθροισμα:

.. $\displaystyle{\, \dfrac {1}{2^2} + \dfrac {1}{3^2}+ \dfrac {1}{4^2}+... }$
$\displaystyle{+\dfrac {1}{2^3} + \dfrac {1}{3^3}+ \dfrac {1}{4^3}+... }$
$\displaystyle{+\dfrac {1}{2^4} + \dfrac {1}{3^4}+ \dfrac {1}{4^4}+... }$

$\displaystyle{\,.\,.\,.\,.\,. }$

$\displaystyle{= \dfrac {1}{1\cdot 2}+ \dfrac {1}{2\cdot 3}+ \dfrac {1}{3\cdot 4}+...}$

$\displaystyle{= \left ( \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2} \right ) + \left ( \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3} \right ) + \left ( \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4} \right ) +...}$

$\displaystyle{=1}$ .

Tolaso J Kos · #3

Ναι εύκολη είναι. Και αλλιώς. Επειδή $\displaystyle \zeta(n) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^n}$ έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=2}^{\infty} \left ( \mathrm{Li}_n(1) - 1 \right ) &= \sum_{n=2}^{\infty} \left ( \zeta(n) - 1 \right ) \\ &= \sum_{n=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^n} \\ &=\sum_{k=2}^{\infty} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{k^n} \\ &= \sum_{k=2}^{\infty} \left ( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right ) \\ &= 1 \end{aligned}}$

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 28, 2021 11:20 pm
Και αλλιώς.

Χμμμμ. Δεν βλέπω γιατί είναι αλλιώς. Εγώ την βλέπω ΑΚΡΙΒΩΣ την ίδια,

Τώρα, αν κανείς νομίζει ότι η αλλαγή σειράς άθροισης είναι κάτι διαφορετικό από το να γίνει η οριζόντια άθροιση, κάθετη, είναι άλλη ιστορία.

Σειρά με πολυλογάριθμο

Σειρά με πολυλογάριθμο

Re: Σειρά με πολυλογάριθμο

Re: Σειρά με πολυλογάριθμο

Re: Σειρά με πολυλογάριθμο

Μέλη σε σύνδεση