Όριο ακολουθίας

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε f(0)=0

και παραγωγίσιμη στο

. Θέτουμε

$\displaystyle a_n =\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{k}{n^2} \right)$ Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} a_n}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Απρ 20, 2021 9:05 pm
Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε και παραγωγίσιμη στο . Θέτουμε

$\displaystyle a_n =\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{k}{n^2} \right)$ Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} a_n}$ .

Απάντηση: $\frac {1}{2} f'(0)$

Για $\epsilon >0$ υπάρχει εξ ορισμού $\delta >0$ τέτοιο ώστε για $|x| <\delta$ είναι $f'(0) - \epsilon < \dfrac {f(x)-f(0)}{x-0} < f'(0) + \epsilon$ .

Οπότε για

με $\frac {1}{n} < \delta$ και για $1\le k \le n$ έχουμε

$f'(0) - \epsilon < \dfrac {f \left( \frac{k}{n^2} \right)-0}{\frac{k}{n^2} -0} < f'(0) + \epsilon$ και άρα

$\left (f'(0) - \epsilon \right ) \dfrac {k}{n^2}< f \left( \frac{k}{n^2} \right ) < \left (f'(0) + \epsilon \right ) \dfrac {k}{n^2}$

Προσθέτουμε κατά μέλη για k=1

έως

, οπότε

$\left (f'(0) - \epsilon \right ) \dfrac {n(n+1)}{2n^2}< a_n < \left (f'(0) + \epsilon \right ) \dfrac {n(n+1)}{2n^2}$

Παίρνοντας όριο καταλήγουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, έστω

, και ικανοποιεί $\dfrac {1}{2} \left (f'(0) - \epsilon \right ) \le L \le \dfrac {1}{2} \left (f'(0) + \epsilon \right )$ . Και λοιπά.

Όριο ακολουθίας

Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση