Infimum

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathcal{F}$ ο διανυσματικός χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ με f(0)=0

. Να υπολογιστεί το

$\displaystyle{\mathrm{I} = \inf_{f \in \mathcal{F}} \left ( \sup_{0 \leq t \leq 1} \left | 1 - f(t) \right | + \int_{0}^{1} \left | 1 - f(t) \right | \, \mathrm{d}t \right )}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Απρ 24, 2021 12:56 am Έστω $\mathcal{F}$ ο διανυσματικός χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ με . Να υπολογιστεί το

$\displaystyle{\mathrm{I} = \inf_{f \in \mathcal{F}} \left ( \sup_{0 \leq t \leq 1} \left | 1 - f(t) \right | + \int_{0}^{1} \left | 1 - f(t) \right | \, \mathrm{d}t \right )}$

Απάντηση:

.

Είναι

$\displaystyle{ \sup_{0 \leq t \leq 1} \left | 1 - f(t) \right | + \int_{0}^{1} \left | 1 - f(t) \right | dt \right )} \ge \left | 1 - f(0) \right | + 0=1}$ άρα το infimum αυτού είναι $\ge 1$

Από την άλλη θα δείξουμε ότι το ίδιο αυτό infimum είναι όσο κοντά στο

θέλουμε. Πράγματι, για την συνάρτηση f_n

του σχήματος, δηλαδή σταθερή

από το $\frac {1}{n}$ και πέρα, f(0) =0

και γραμμική στο $[0, \frac {1}{n}]$ , έχουμε οτι το εν λόγω infimum είναι

$\displaystyle{ \le \sup_{0 \leq t \leq 1} \left | 1 - f_n(t) \right | + \int_{0}^{1} \left | 1 - f_n(t) \right | dt \right )}= |1-0|+ \int_{0}^{1/n} \left | 1 - f_n(t) \right | dt \right )}= 1 + \frac {1}{2n} }$ (Υπόψη ότι το ολοκλήρωμα είναι όσο το εμβαδόν του στενόμακρου τριγώνου βάσης $\frac {1}{n}$ και ύψους

).

Και λοιπά.

Infimum

Infimum

Re: Infimum

Μέλη σε σύνδεση