Infimum

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4620
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Infimum

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Απρ 24, 2021 12:56 am

Έστω \mathcal{F} ο διανυσματικός χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} με f(0)=0. Να υπολογιστεί το

\displaystyle{\mathrm{I} = \inf_{f \in \mathcal{F}} \left ( \sup_{0 \leq t \leq 1} \left | 1 - f(t) \right |  + \int_{0}^{1} \left | 1 - f(t) \right | \, \mathrm{d}t \right )}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13384
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Infimum

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 24, 2021 1:43 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Απρ 24, 2021 12:56 am
Έστω \mathcal{F} ο διανυσματικός χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} με f(0)=0. Να υπολογιστεί το

\displaystyle{\mathrm{I} = \inf_{f \in \mathcal{F}} \left ( \sup_{0 \leq t \leq 1} \left | 1 - f(t) \right |  + \int_{0}^{1} \left | 1 - f(t) \right | \, \mathrm{d}t \right )}
Απάντηση: 1.

Είναι

\displaystyle{ \sup_{0 \leq t \leq 1} \left | 1 - f(t) \right |  + \int_{0}^{1} \left | 1 - f(t) \right | dt \right )} \ge \left | 1 - f(0) \right | + 0=1} άρα το infimum αυτού είναι \ge 1

Από την άλλη θα δείξουμε ότι το ίδιο αυτό infimum είναι όσο κοντά στο 1 θέλουμε. Πράγματι, για την συνάρτηση f_n του σχήματος, δηλαδή σταθερή 1 από το \frac {1}{n} και πέρα, f(0) =0 και γραμμική στο [0, \frac {1}{n}], έχουμε οτι το εν λόγω infimum είναι

\displaystyle{ \le  \sup_{0 \leq t \leq 1} \left | 1 - f_n(t) \right |  + \int_{0}^{1} \left | 1 - f_n(t) \right | dt \right )}=  |1-0|+  \int_{0}^{1/n} \left | 1 - f_n(t) \right | dt \right )}= 1 + \frac {1}{2n} } (Υπόψη ότι το ολοκλήρωμα είναι όσο το εμβαδόν του στενόμακρου τριγώνου βάσης \frac  {1}{n} και ύψους 1).

Και λοιπά.
Συνημμένα
inf.png
inf.png (1.57 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης