U 550 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1046
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

U 550 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Μάιος 16, 2021 7:38 am

Σας προτείνω το θέμα U550 από το δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2021. Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, ήταν η 15-5-2021, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας.Το θέμα πρότεινε ο Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam.

Έστω f_{n}\left ( x \right )=\left ( x^{2}-x+1 \right )\left ( x^{4}-x^{2}+1 \right )\left ( x^{8}-x^{4}+1 \right )\cdot \cdot \cdot \left ( x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1 \right )

Αποδείξτε ότι για \left | x \right |< 1 ισχύει \displaystyle\frac{1}{3}< \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left ( x \right )\left \leq \frac{4}{3}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13365
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: U 550 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 16, 2021 9:57 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 16, 2021 7:38 am
Έστω f_{n}\left ( x \right )=\left ( x^{2}-x+1 \right )\left ( x^{4}-x^{2}+1 \right )\left ( x^{8}-x^{4}+1 \right )\cdot \cdot \cdot \left ( x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1 \right )

Αποδείξτε ότι για \left | x \right |< 1 ισχύει \displaystyle\frac{1}{3}< \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left ( x \right )\left \leq \frac{4}{3}
Μπορούμε να το βελτιώσουμε δείχνοντας ότι \displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left ( x \right )\left = \dfrac{1}{1+x+x^2}} από όπου εύκολα οι ανισότητες αφού \displaystyle{ 1+x+x^2= \left ( x-\frac {1}{2} \right ) ^2 + \frac {3}{4} }, και λοιπά (ακρότατα στο 1/2 και στα άκρα \pm 1).

Για την απόδειξη της βελτίωσης

\displaystyle{ f_{n}\left ( x \right )= \dfrac {1+x^3}{1+x} \cdot \dfrac {1+x^6}{1+x^2} \cdot \dfrac {1+x^{12}}{1+x^4} \cdot ... \dfrac {1+x^{3\cdot 2^{n-1}}}{1+x^{2^{n-1}} }.

Tώρα, ο παρονομαστής τείνει στο (γνωστό ως γινόμενο Euler)

\displaystyle{ (1+x)(1+x^2)(1+x^4) (1+x^8) ... = 1+x+x^2+x^3+x^4 +... = \dfrac {1}{1-x}}

Ο αριθμητής είναι το ίδιο αλλά με x^3 στην θέση του x. Έτσι όλο μαζί τείνει στο \displaystyle{\dfrac {\frac {1}{1-x^3}}{\dfrac {1} {1-x}}= \dfrac{1}{1+x+x^2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες