"Μηδενική" συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Μία συνάρτηση N(t)

καλείται μηδενική συνάρτηση (null function) αν $\displaystyle{\int_{0}^{t} N(\tau) \, \mathrm{d} \tau = 0 }$ για κάθε t>0

.

Να δοθεί παράδειγμα "μηδενικής" συνάρτησης η οποία δεν είναι ταυτοτικά μηδέν.
Να δειχθεί ότι $\mathcal{L} \left ( N(t) \right ) = 0$ για κάθε "μηδενική" συνάρτηση.
Να δειχθεί ότι $\mathcal{L} \left ( f(t) + N(t) \right ) = \mathcal{L} (f(t))$ για κάθε $f \in L$ και κάθε συνάρτηση "μηδενική" .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 19, 2021 7:17 pm
Μία συνάρτηση καλείται μηδενική συνάρτηση (null function) αν $\displaystyle{\int_{0}^{t} N(\tau) \, \mathrm{d} \tau = 0 }$ για κάθε .

Να δοθεί παράδειγμα "μηδενικής" συνάρτησης η οποία δεν είναι ταυτοτικά μηδέν.

Να δειχθεί ότι $\mathcal{L} \left ( N(t) \right ) = 0$ για κάθε "μηδενική" συνάρτηση.

Να δειχθεί ότι $\mathcal{L} \left ( f(t) + N(t) \right ) = \mathcal{L} (f(t))$ για κάθε $f \in L$ και κάθε συνάρτηση "μηδενική" .

Με ολοκλήρωμα Lebesgue.
Η παραγώγιση του ολοκληρώματος δίνει ότι N(t)=0

σχεδόν παντού.
Τα άλλα είναι τετριμμένα.
Παράδειγμα.
Πάρε ένα $A\subseteq (0,\infty ),m(A)=0$
βάλε N(t)

ότι νάναι όταν $t\in A$
και N(t)=0

όταν $t\in (0.\infty )-A$

Με ολοκλήρωμα Riemman
Το σύνολο των σημείων ασυνεχείας πρέπει να έχει μέτρο

.
Εστω ότι αυτό είναι το $A\subseteq (0,\infty ),m(A)=0$
Η παραγώγιση του ολοκληρώματος δίνει ότι N(t)=0

για $t\in (0.\infty )-A$ .
Παραδείγματα πολλά.Το

δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε.
Τα άλλα είναι τετριμμένα.

"Μηδενική" συνάρτηση

"Μηδενική" συνάρτηση

Re: "Μηδενική" συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση