Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

ttheodoros · #1

Να εξεταστεί αν το ολοκλήρωμα
$\displaystyle{ \int_{2}^{\infty} \dfrac{x \sin(e^x)}{x+\sin(e^x)} \, dx }$
συγκλίνει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

ttheodoros έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 24, 2021 8:54 pm
Να εξεταστεί αν το ολοκλήρωμα
$\displaystyle{ \int_{2}^{\infty} \dfrac{x \sin(e^x)}{x+\sin(e^x)} \, dx }$
συγκλίνει.

Δεν συγκλίνει.
Θέτοντας
t=e^x

γίνεται
$\displaystyle \int_{a}^{\infty} \dfrac{\ln t \sin t}{\ln t+\sin t} \frac{1}{t} dt$

Επειδή η συνάρτηση μέσα πάει στο

για $t\rightarrow \infty$
κάνουμε παραγοντική.
Τα ολοκληρώματα που παρουσιάζονται συγκλίνουν απόλυτα εκτός του

$\displaystyle \int_{a}^{\infty} \dfrac{\ln t (\cos t)^2}{(\ln t+\sin t)^2} \frac{1}{t} dt$

που αποκλίνει.
Την απόκλιση την βλέπουμε εκτιμώντας το ολοκλήρωμα στα
$[2k\pi -\frac{\pi }{4},2k\pi +\frac{\pi }{4}]$

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση