Μια φόρμουλα για το ζ(3)

Πεδγια · #1

Καλημέρα!
Μπορεί κάποιος να αποδείξει ή να διαψεύσει τον ακόλουθο τύπο:

$\zeta(3)=\frac{2}{21}\pi^2\ln 2-\frac{4}{21}\ln^3 2+\frac{8}{7}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^32^n}$

Αριθμητικός υπολογισμός: SageMathCell

Tolaso J Kos · #2

Πεδγια έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 27, 2021 8:01 am
Καλημέρα!
Μπορεί κάποιος να αποδείξει ή να διαψεύσει τον ακόλουθο τύπο:

$\zeta(3)=\frac{2}{21}\pi^2\ln 2-\frac{4}{21}\ln^3 2+\frac{8}{7}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^32^n}$

Η τριλογάριθμος $\mathrm{Li}_3$ ικανοποιεί τη σχέση

$\displaystyle{\text{Li}_{3}(z) + \text{Li}_{3}(1-z)+ \text{Li}_{3} \left( 1 - \frac{1}{z} \right) = \zeta(3) + \frac{\ln^{3} z}{6}+ \frac{\pi^{2} \ln z}{6}- \frac{\ln^{2} z \ln(1-z)}{2}}$
Για $z=\frac{1}{2}$ έχουμε

$\displaystyle{2 \mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{2} \right ) + \mathrm{Li}_3 \left ( -1 \right ) = \zeta(3) + \frac{\ln^3 2}{3} - \frac{\pi^2 \ln 2}{6}}$
Τέλος,

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{Li}_3 (-1) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3} \\ &=-\left ( 1- 2^{-2} \right ) \zeta(3) \\ &=- \frac{3 \zeta(3)}{4} \end{aligned}}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} 2 \mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{2} \right ) - \frac{3 \zeta(3)}{4} = \zeta(3) + \frac{\ln^3 2}{3} - \frac{\pi^2 \ln 2}{6} &\Leftrightarrow 2 \mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{2} \right ) = \frac{7 \zeta(3)}{4} + \frac{\ln^3 2}{3} - \frac{\pi^2 \ln 2}{6} \\ &\Leftrightarrow \mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{2} \right ) = \frac{7 \zeta(3)}{8} + \frac{\ln^3 2}{6} - \frac{\pi^2 \ln 2}{12} \end{aligned}}$
το οποίο ισοδυναμεί με το ζητούμενο.

Παλιότερες παραπομπές:
[1] Ολοκλήρωμα
[2] Υπολογισμός αθροίσματος
[3] Μία ταυτότητα με τριλογαρίθμους

Πεδγια · #3

@Tolaso Ευχαριστώ.

Μια φόρμουλα για το ζ(3)

Μια φόρμουλα για το ζ(3)

Re: Μια φόρμουλα για το ζ(3)

Re: Μια φόρμουλα για το ζ(3)

Μέλη σε σύνδεση