Σελίδα 1 από 1

Σύστημα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 10, 2010 8:43 pm
από Μπάμπης Στεργίου
Μια και ξεφυλλίζω ένα βιβλίο με ασκήσεις της περισυνής ολυμπιάδας στη Ρουμανία, σας γνωστοποιώ ένα ακόμα θέμα , που οδηγεί τελικά και σε μια απλή άσκηση μονοτονίας συναρτήσεων :

ΑΣΚΗΣΗ

Να λυθεί το σύστημα :

\displaystyle{ 
\left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {\log _6 (x^2  + 2) = \log _2 y}  \\ 
   {\log _6 (y^2  + 2) = \log _2 z}  \\ 
   {\log _6 (z^2  + 2) = \log _2 x}  \\ 
\end{array}} \right. 
}

Μπάμπης
(Έχω και την επίσημη λύση, για όποιον τη θελήσει)

Re: Σύστημα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 10, 2010 9:34 pm
από s.kap
Μπάμπη καλησπέρα. Ας επιχειρήσω μία λύση:
Αν υποθέσουμε ότι x \geq y \geq z, τότε log_{6}(x^2+2) \geq log_{6}(y^2+2) \geq log_{6}(z^2+2) άρα y \geq z \geq x, άρα x=y=z. Το σύστημα ισοδυναμεί με την εξίσωση \frac {ln(x^2+2)}{ln6}= \frac {lnx}{ln2}. Η συνάρτηση f(x)=\frac {ln(x^2+2)}{ln6}- \frac {lnx}{ln2}, x>0 είναι γνησίως φθίνουσα (εύκολο), άρα η εξίσωση που αναφέραμε έχει ως μοναδική λύση την προφανή x=2
Φιλικά

Re: Σύστημα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Μάιος 11, 2010 11:15 am
από Math Rider
Μια άλλη προσέγγιση είναι να χρησιμοποιήσουμε το τέχνασμα του κυρίου Μπάμπη εδώ: viewtopic.php?f=61&t=2241
Γενικά, νομιζω οτι το κλειδί σε τέτοιου είδους ασκήσεις (με κυκλικότητα των x, y, z) είναι να αποδείξουμε, με κάποιο τρόπο,
ότι x = y = z.