Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω διάστημα καὶ συνάρτηση, μὲ τὴν ἰδιότητα ὅτι διὰ κάθε , τὸ ὅριο
ὑπάρχει στὸ . Δείξατε ὅτι ἡ εἶναι ἀσυνεχὴς σὲ τὸ πολὺ ἀριθμησίμου πλήθους σημεῖα.
ὑπάρχει στὸ . Δείξατε ὅτι ἡ εἶναι ἀσυνεχὴς σὲ τὸ πολὺ ἀριθμησίμου πλήθους σημεῖα.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;
Tα σημεία ασυνέχειας είναι τα με , τα οποία θέλουμε να δείξουμε ότι είναι αριθμήσιμα το πλήθος. Χωρίς βλάβη αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο είναι αριθμήσιμο (όμοια για την ανάποδη ανισότητα).Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 04, 2021 7:11 pmΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω διάστημα καὶ συνάρτηση, μὲ τὴν ἰδιότητα ὅτι διὰ κάθε , τὸ ὅριο
ὑπάρχει στὸ . Δείξατε ὅτι ἡ εἶναι ἀσυνεχὴς σὲ τὸ πολὺ ἀριθμησίμου πλήθους σημεῖα.
Για κάθε επιλέγουμε δύο ρητούς τόσο κοντά στο ώστε για κάθε να ισχύει .
Ισχυρίζομαι ότι αν και είναι δύο στοιχεία του τότε αποκλείεται το ζεύγος που αντιστοιχεί στα να είναι το ίδιο.
Έστω λοιπόν (χωρίς βλάβη) και έστω ότι τα έχουν το ίδιο ζεύγος από . Δηλαδή και ισχύει η με ή στην θέση του . Θα οδηγηθούμε σε άτοπο.
Πράγματι, αφού ισχύει , η δίνει .
Από την άλλη αφού , η δίνει .
Οι δύο τελευταίες είναι ασυμβίβαστες. Συμπεραίνουμε ότι το ζεύγος είναι διαφορετικό για κάθε . Όμως (εδώ είναι το κλειδί), το σύνολο είναι αριθμήσιμο. Από αυτά έπεται η ζητούμενη αριθμησιμότητα.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;
Μια άλλη αντιμετώπιση είναι η εξής(πιο πολύπλοκη από του Μιχάλη)
Το
γράφεται
Αρκεί να δείξουμε ότι
το σύνολο είναι αριθμήσιμο.
Για ένα στο σύνολο υπάρχει ώστε
Ετσι η τομή του συνόλου με το είναι το .
Εύκολα βλέπουμε ότι τα
είναι ξένα που μας δίνει ότι είναι αριθμήσιμο.
Ομοια για το
Το
γράφεται
Αρκεί να δείξουμε ότι
το σύνολο είναι αριθμήσιμο.
Για ένα στο σύνολο υπάρχει ώστε
Ετσι η τομή του συνόλου με το είναι το .
Εύκολα βλέπουμε ότι τα
είναι ξένα που μας δίνει ότι είναι αριθμήσιμο.
Ομοια για το
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες