Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 566
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Σάβ Δεκ 04, 2021 7:11 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω I διάστημα καὶ f: I\to\mathbb R συνάρτηση, μὲ τὴν ἰδιότητα ὅτι διὰ κάθε x\in I, τὸ ὅριο

\displaystyle{ 
\lim_{y\to x}f(y) 
}

ὑπάρχει στὸ \mathbb R. Δείξατε ὅτι ἡ f εἶναι ἀσυνεχὴς σὲ τὸ πολὺ ἀριθμησίμου πλήθους σημεῖα.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13927
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 05, 2021 6:52 pm

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 7:11 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω I διάστημα καὶ f: I\to\mathbb R συνάρτηση, μὲ τὴν ἰδιότητα ὅτι διὰ κάθε x\in I, τὸ ὅριο

\displaystyle{ 
\lim_{y\to x}f(y) 
}

ὑπάρχει στὸ \mathbb R. Δείξατε ὅτι ἡ f εἶναι ἀσυνεχὴς σὲ τὸ πολὺ ἀριθμησίμου πλήθους σημεῖα.
Tα σημεία ασυνέχειας είναι τα x\in I με \displaystyle{\lim_{y\to x}f(y) \ne f(x)}, τα οποία θέλουμε να δείξουμε ότι είναι αριθμήσιμα το πλήθος. Χωρίς βλάβη αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο A= \{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) >  f(x) \} είναι αριθμήσιμο (όμοια για την ανάποδη ανισότητα).

Για κάθε a\in A επιλέγουμε δύο ρητούς p<a<q τόσο κοντά στο a ώστε για κάθε x\in (p,\, q) να ισχύει f(x) > f(a)\, (*).

Ισχυρίζομαι ότι αν b\in A και c\in A είναι δύο στοιχεία του A τότε αποκλείεται το ζεύγος (p,\, q) που αντιστοιχεί στα b,\,c να είναι το ίδιο.

Έστω λοιπόν (χωρίς βλάβη) b<c και έστω ότι τα b,\,c έχουν το ίδιο ζεύγος από p,\, q. Δηλαδή p<b<c<q και ισχύει η (*) με b ή c στην θέση του a. Θα οδηγηθούμε σε άτοπο.

Πράγματι, αφού ισχύει p<c<q, η (*) δίνει f(c) > f(b).

Από την άλλη αφού p<b<q, η (*) δίνει f(b) > f(c).

Οι δύο τελευταίες είναι ασυμβίβαστες. Συμπεραίνουμε ότι το ζεύγος (p,q) είναι διαφορετικό για κάθε b\ne c. Όμως (εδώ είναι το κλειδί), το σύνολο \mathbb Q \times \mathbb Q είναι αριθμήσιμο. Από αυτά έπεται η ζητούμενη αριθμησιμότητα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3434
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Δεκ 06, 2021 10:30 am

Μια άλλη αντιμετώπιση είναι η εξής(πιο πολύπλοκη από του Μιχάλη)
Το A= \{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) >  f(x) \}
γράφεται
\displaystyle A= \{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) > f(x) \}=\cup _{q\in \mathbb{Q}}\{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) >q> f(x) \}
Αρκεί να δείξουμε ότι
το σύνολο \{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) >q> f(x) \} είναι αριθμήσιμο.
Για ένα x στο σύνολο υπάρχει c_x>0 ώστε
t\in (x-c_x,x+c_x)-\left \{ x \right \}\Rightarrow f(t)>q
Ετσι η τομή του συνόλου με το (x-c_x,x+c_x) είναι το x.
Εύκολα βλέπουμε ότι τα (x-\frac{1}{2}c_x,x+\frac{1}{2}c_x)
είναι ξένα που μας δίνει ότι είναι αριθμήσιμο.
Ομοια για το  \{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) < f(x) \}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες