Μια φόρμουλα για το ζ(8)

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Πεδγια
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 06, 2021 5:48 pm
Επικοινωνία:

Μια φόρμουλα για το ζ(8)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πεδγια » Τρί Δεκ 07, 2021 7:29 am

Καλημέρα!
Μπορεί κάποιος να αποδείξει ή να διαψεύσει τον ακόλουθο τύπο:

\zeta(8)=12\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^4}

Αριθμητικός υπολογισμός: SageMathCell



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4735
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Μια φόρμουλα για το ζ(8)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 07, 2021 5:53 pm

Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_{n-1}^{(4)}}{n^4} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^{(4)} - \frac{1}{n^4}}{n^4} \\  
 &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^{(4)}}{n^4} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^8}  
\end{aligned}}
Για το τελευταίο άθροισμα παρατηρούμε ότι

\displaystyle{2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^{(4)}}{n^4} = \zeta(4)\zeta(4) + \zeta(8) \Leftrightarrow  2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^{(4)}}{n^4} = \frac{7}{6} \zeta(8) + \zeta(8) = \frac{13 \zeta(8)}{6} }
Το αποτέλεσμα έπεται.


Υ.Σ 1: Το παρατηρούμε δεν είναι τίποτα άλλο από τη γνωστή συμμετρία αθροισμάτων Euler.

Υ.Σ 2: Υπάρχει και δεύτερη λύση με πολυλογαρίθμους. Κάποια άλλη στιγμή.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Πεδγια
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 06, 2021 5:48 pm
Επικοινωνία:

Re: Μια φόρμουλα για το ζ(8)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πεδγια » Τρί Δεκ 07, 2021 6:52 pm

@Tolaso Ευχαριστώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες