Κατά συνθήκη σύγκλιση

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \left| \sin n \right|}{n}}$ συγκλίνει , αλλά όχι απόλυτα.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Δεκ 25, 2021 1:07 pm Να δειχθεί ότι η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \left| \sin n \right|}{n}}$ συγκλίνει , αλλά όχι απόλυτα.

Μετά από ολιγοήμερη απουσία εκτός έδρας, επιστρέφω.

Κάνω μόνο το δεύτερο και ενδιαφέρον μέρος γιατί το πρώτο είναι γνωστό και στάνταρ.

Θα χρειαστεί το εξής:

$\displaystyle{|\sin n| +|\sin (n+1)|\ge |\sin n \cos (n+1) | + |\cos n \sin (n+1)| \ge$

$\displaystyle{ \ge |\sin n \cos (n+1) -\cos n \sin (n+1)||= |\sin (n-n-1)|=|\sin 1| >0}$

Άρα

$\displaystyle{ \sum _{n=1}^{2N} \frac {|\sin n|}{n} = \sum _{n=1}^{N}\left ( \frac {|\sin (2n-1)|}{2n-1} + \frac {|\sin (2n)|}{2n} \right ) \ge \sum _{n=1}^{N}\left \frac {|\sin (2n-1)| +|\sin (2n)|}{2n} }$

$\displaystyle{ \ge \frac {|\sin 1|}{2} \sum _{n=1}^{N}\left \frac {1}{n} }$

το οποίο είναι μη φραγμένο.

Κατά συνθήκη σύγκλιση

Κατά συνθήκη σύγκλιση

Re: Κατά συνθήκη σύγκλιση

Μέλη σε σύνδεση