Πεπερασμένο άθροισμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} (-1)^n \binom{n}{k} \binom{m+n-2k}{n-1} = \binom{n}{m+1}}$

Tolaso J Kos · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Απρ 06, 2022 10:27 pm Έστω . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} (-1)^n \binom{n}{k} \binom{m+n-2k}{n-1} = \binom{n}{m+1}}$

Ξεκινάμε με την ολοκληρωτική αναπαράσταση του διωνυμικού συντελεστή

$\displaystyle{\binom{n}{m} = \frac{1}{2\pi i } \oint \limits_{\left | z \right |=R>1} \frac{\left ( z+1 \right )^n}{z^{m+1}} \, \mathrm{d}z }$

Συνεπώς,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n} (-1)^n \binom{n}{k} \binom{m+n-2k}{n-1} &= \frac{1}{2\pi i} \sum_{k=0}^{n} (-1)^n \binom{n}{k} \oint \limits_{\left | z \right |=R>1} \frac{\left ( z+1 \right )^{m+n-2k}}{z^n}\, \mathrm{d}z \\ &= \frac{1}{2\pi i }\oint \limits_{\left | z \right |=R>1} \frac{\left ( z+1 \right )^{m+n}}{z^n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^n \binom{n}{k} \frac{\mathrm{d}z}{\left ( z+1 \right )^{2k}} \\ &=\frac{1}{2\pi i } \oint \limits_{\left | z \right |=R>1} \frac{\left ( z+1 \right )^{m+n}}{z^n} \left ( 1 - \frac{1}{\left ( z+1 \right )^2} \right )^n \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{1}{2\pi i} \oint \limits_{\left | z \right |=R>1} \frac{\left ( z+2 \right )^n}{\left ( z+1 \right )^{n-m}}\, \mathrm{d}z \\ &= \mathfrak{Res}_{z =-1} \frac{(z+2)^n}{(z+1)^{n-m}} \\ &= \lim_{z\rightarrow -1} \frac{1}{(n-m-1)!} \frac{\mathrm{d}^{n-m-1} }{\mathrm{d}z^{n-m-1}} \left ( z+2 \right )^n \\ &= \binom{n}{m+1} \end{aligned}}$

Πεπερασμένο άθροισμα

Πεπερασμένο άθροισμα

Re: Πεπερασμένο άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση