Ολοκλήρωμα με ακέραιο και κλασματικό μέρος

Tolaso J Kos · #1

Σε συνέχεια των δημοσιεύσεων εδώ , εδώ και εδώ προτείνω και το παρακάτω:

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{1} x \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \left \{ \frac{1}{x} \right \} \, \mathrm{d}x }$
όπου $\{ \cdot \}$ είναι το κλασματικό μέρος και $\left \lfloor \cdot \right \rfloor$ το ακέραιο μέρος.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 15, 2022 11:57 am
Σε συνέχεια των δημοσιεύσεων εδώ , εδώ και εδώ προτείνω και το παρακάτω:

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{1} x \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \left \{ \frac{1}{x} \right \} \, \mathrm{d}x }$
όπου $\{ \cdot \}$ είναι το κλασματικό μέρος και $\left \lfloor \cdot \right \rfloor$ το ακέραιο μέρος.

H απάντηση (προσωρινά) με απόκρυψη. Την γράφω τώρα έτσι γιατί δίνει μία ιδέα για την μέθοδο.
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 15, 2022 11:57 am

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{1} x \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \left \{ \frac{1}{x} \right \} \, \mathrm{d}x }$
όπου $\{ \cdot \}$ είναι το κλασματικό μέρος και $\left \lfloor \cdot \right \rfloor$ το ακέραιο μέρος.

Από τον τύπο $a=\lfloor a \rfloor + \left \{ a \right \}$ η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι η $x \left \lfloor \dfrac{1}{x} \right \rfloor \left (\dfrac {1}{x}- \left \lfloor \dfrac{1}{x} \right \rfloor \right )$ .

H $\left \lfloor \dfrac{1}{x} \right \rfloor$ είναι σταθερή όταν $n \le \dfrac {1}{x} < n+1$ , ισοδύναμα $\dfrac {1}{n+1} <x \le \dfrac {1}{n}$ . Σε ένα τέτοιο διάστημα η προς ολοκλήρωση συνάρτηση έχει την μορφή

$\displaystyle{x n \left (\dfrac {1}{x} - n \right ) = n-xn^2}$ . Δηλαδή είναι ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα $\left ( \dfrac {1}{n+1} ,\, \dfrac {n}{n+1} \right )$ (έθεσα $x= \dfrac {1}{n+1}$ ) και $\left ( \dfrac {1}{n} ,\, 0 \right )$ (έθεσα $x= \dfrac {1}{n}$ ). Η εικόνα παρακάτω δείχνει την κατάσταση.

Αν δούμε το ζητούμενο ολοκλήρωμα ως άθροισμα εμβαδών, το τυπικό εμβαδόν προέρχεται από τρίγωνο ύψους $\dfrac {n}{n+1}$ και βάσης μήκους $\dfrac {1}{n} - \dfrac {1}{n+1}$ . To εμβαδόν αυτό είναι $\dfrac {1}{2} \dfrac {n}{n+1}\left ( \dfrac {1}{n} - \dfrac {1}{n+1}\right ) = \dfrac {1}{2} \dfrac {1}{(n+1)^2}$ .

Αθροίζοντάς τα όλα θα βρούμε

$\displaystyle{\dfrac {1}{2} \sum _{n=1}^{\infty} \dfrac {1}{(n+1)^2} =\dfrac {1}{2} \sum _{n=2}^{\infty} \dfrac {1}{n^2} = \dfrac {1}{2} \left ( \dfrac {\pi ^2}{6}- 1 \right ) = \dfrac {\pi ^2}{12}- \dfrac {1}{2} }$ .

Ολοκλήρωμα με ακέραιο και κλασματικό μέρος

Ολοκλήρωμα με ακέραιο και κλασματικό μέρος

Re: Ολοκλήρωμα με ακέραιο και κλασματικό μέρος

Re: Ολοκλήρωμα με ακέραιο και κλασματικό μέρος

Μέλη σε σύνδεση