Ολοκλήρωμα ουράς γινομένου Euler

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\prod_{k=n+1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{k^2}\right) \, \mathrm{d}x =\frac{2^{2n-1}}{\binom{2n}{n}}}$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά!!

Υποδείξεις:

Από το γινόμενο του Euler είναι $\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{x^2}{n^2} \right ) = \frac{\sin \pi x }{\pi x}}$ κατά συνέπεια είναι

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{x^2}{n^2} \right ) = \prod_{k=1}^{n} \left ( 1 - \frac{x^2}{k^2} \right ) \cdot \prod_{k=n+1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{x^2}{k^2} \right ) \implies \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{k=1}^{n} \left ( 1 - \frac{x^2}{k^2} \right ) \prod_{k=n+1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{x^2}{k^2} \right ) }$
Αν $\displaystyle{p(x) = x \prod_{k=1}^{n} \left ( x^2 - k^2 \right )}$ τότε $\displaystyle{\frac{1}{p(x)} = \frac{1}{x \cdot p'(0)} + \sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{1}{p'(k)(x-k)} + \frac{1}{p'(-k) \left ( x +k \right )} \right )}$ . Υπολογίστε πόσο κάνει το . Θα βρείτε ότι

$\displaystyle{p'(k) = p'(-k) = 2k^2 \prod_{\substack{1 \leq j \leq n \\ j \neq k}} \left ( k^2 - j^2 \right ) = (-1)^{n-k} \left ( n - k \right )! \left ( n + k \right )! }$
( απαιτείται απόδειξη)
Ολοκληρώστε τη ποσότητα $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin \pi x}{p(x)}\, \mathrm{d}x }$ . Χρησιμοποιήστε ότι

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin \pi x}{x-k}\, \mathrm{d}x + \int_{0}^{\infty} \frac{\sin \pi x}{x+k} \, \mathrm{d}x = (-1)^k \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin \pi x}{x} \, \mathrm{d}x = (-1)^k \pi }$