Μία διωνυμική ταυτότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $m \in \mathbb{N}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{2k+1}\binom{m+k}{2n} = \binom{2m}{2n}}$
Εχω λύση με μιγαδική ανάλυση. Κάτι καλύτερο;

#2

Θα αποδείξω ταυτόχρονα ότι για m,n

φυσικούς έχουμε:

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+1}{2k+1}\binom{m+k}{n} = \binom{2m}{n}$ και $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+1}{2k}\binom{m+k}{n} = \binom{2m+1}{n}$

Θα το κάνω με επαγωγή στο m+n

. Το ζητούμενο είναι προφανές για m+n=0

. Μπορώ επίσης να υποθέσω ότι $m,n \geqslant 1$ αφού το ζητούμενο είναι προφανές και για m=0

ή

.

Παρατηρώ ότι

$\displaystyle \begin{aligned} \binom{n+1}{2k+1}\binom{m+k}{n} &= \left[ \binom{n}{2k+1} + \binom{n}{2k}\right] \left[ \binom{m-1+k}{n} + \binom{m-1+k}{n-1}\right] \\ &= \binom{n}{2k+1} \binom{m-1+k}{n-1} + \binom{n}{2k}\binom{m-1+k}{n-1} + \binom{n+1}{2k+1} \binom{m-1+k}{n} \end{aligned}$

Από την επαγωγική υπόθεση παίρνω

$\displaystyle \displaystyle{\sum_k \binom{n+1}{2k+1}\binom{m+k}{n} = \binom{2m-2}{n-1} + \binom{2m-1}{n-1} + \binom{2m-2}{n} = \binom{2m-1}{n}+ \binom{2m-1}{n-1} = \binom{2m}{n}}$

Ομοίως

$\displaystyle \binom{n+1}{2k}\binom{m+k}{n} = \binom{n}{2k} \binom{m-1+k}{n-1} + \binom{n}{2k-1}\binom{m+(k-1)}{n-1} + \binom{n+1}{2k} \binom{m-1+k}{n}$

και παίρνω

$\displaystyle \displaystyle{\sum_k \binom{n+1}{2k}\binom{m+k}{n} = \binom{2m-1}{n-1} + \binom{2m}{n-1} + \binom{2m-1}{n} = \binom{2m}{n-1}+ \binom{2m}{n} = \binom{2m+1}{n}}$

Μία διωνυμική ταυτότητα

Μία διωνυμική ταυτότητα

Re: Μία διωνυμική ταυτότητα

Μέλη σε σύνδεση