Ολοκλήρωμα - Πλήθος Ριζών.

Ωmega Man · #1

.

: pap.png (10.93 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

#2

Το (1) έχει ξανασυζητηθεί στο forum, αλλά έψαξα και δε μπόρεσα να το βρω.

Φαντάζομαι ο Γιώργος προσδοκά μια λύση με μιγαδική ανάλυση...δε θυμάμαι ποιες λύσεις είχαν δοθεί...Ίσως, όσοι συμμετείχαν στη συζήτηση να θυμούνται καλύτερα.

Το (2) είναι μια κλασσική εφαρμογή του θεωρήματος Rouche, αφού αρκεί να παρατηρήσουμε ότι το 9 είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα 1+1+2+4=8

των υπόλοιπων συντελεστών, οπότε

$|9z^2|=9>8\geq |z^6+z^3+2z+4|$

για |z|=1

.

Άρα το ζητούμενο πλήθος ριζών είναι: 2.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ωmega Man · #3

Πολύ ωραία Αχιλλέα, όσον αφορά το 1ο και εγώ έχω την ίδια εντύπωση με σένα........

mathxl · #4

Το έχω δώσει εγώ στον ΑΕΙ, για την ώρα δεν ψάχνω γιατί πληκτρολογώ την λύση της επαναληπτικής που πρόκειται να ανεβάσω. όποιος θέλει ας ψάξει στις δημοσιεύσεις μου για ολοκληρώματα στον φάκελο ΑΕΙ

ΠΡΟΣΘΗΚΗ:Βρήκα την διεύθυνση viewtopic.php?f=9&t=2891

#5

Μια πολύ όμορφη λύση για το πρώτο που έχω υπόψη μου, η οποία δεν κάνει χρήση μιγαδικής ανάλυσης και είναι από την μεταπτυχιακή εργασία του Παντερή με επιβλέποντα το Μιχάλη, είναι η εξής :

Κατ' αρχάς, ολοκλήρωμα συγκλίνει για κάθε $\displaystyle{a\in\mathbb{R}}$ , αφού η ολοκληρωτέα είναι άρτια και $\displaystyle{\Big|\frac{\cos(ax)}{x^{2}+1}\Big|\leq\frac{1}{x^{2}+1}}$ με $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\pi/2}$ .

Έστω ότι $\displaystyle{a\in[-M,M]}$ με $\displaystyle{M>0}$ . Έχουμε ότι $\displaystyle{I(a):=\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(ax)}{x^{2}+1}\,dx\stackrel{ax=y}{=}\int_{0}^{+\infty}\cos y\frac{a}{y^{2}+a^{2}}\,dy:=\int_{0}^{+\infty}\cos y f(a,y)\,dy}$ .

Επίσης είναι $\displaystyle{\frac{\partial f(a,y)}{\partial y}=\frac{-2ay}{(a^{2}+y^{2})^{2}}}$ και $\displaystyle{\frac{\partial f(a,y)}{\partial a}=\frac{y^{2}-a^{2}}{(a^{2}+y^{2})^{2}}}$ , αλλά και

$\displaystyle{\frac{\partial^{2}f(a,y)}{\partial y^{2}}=\cdots=\frac{2a^{5}-6ay^{4}-4a^{3}y^{2}}{(a^{2}+y^{2})^{4}}=\cdots=-\frac{\partial^{2}f(a,y)}{\partial a^{2}}}$ . $\displaystyle{\boxed{*}}$

Επειδή $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\Big|\frac{\partial(\cos y f(a,y))}{\partial a}\Big|\,dy<+\infty,\,\,\,\,\,\,\int_{0}^{+\infty}\Big|\frac{\partial^{2}(\cos y f(a,y))}{\partial a^{2}}\Big|\,dy<+\infty}$ ομοιόμορφα ως προς $\displaystyle{a\in[-M,M]}$ , από το θεώρημα του Leibnitz έχουμε

$\displaystyle{I{''}(a)=\int_{0}^{+\infty}\cos y \frac{\partial^{2}f(a,y)}{\partial a^{2}}\,dy}$ . $\displaystyle{\boxed{**}}$

Όμως με διπλή κατά παράγοντες ολοκλήρωση είναι $\displaystyle{I(a)=-\int_{0}^{+\infty}\cos y\frac{\partial^{2}f(a,y)}{\partial y^{2}}\,dy\stackrel{\boxed{*}}{=}\int_{0}^{+\infty}\cos y\frac{\partial^{2}f(a,y)}{\partial a^{2}}\,dy\stackrel{\boxed{**}}{=}I{''}(a)}$ .

Η λύση όμως της διαφορικής εξίσωσης $\displaystyle{I{''}(a)=I(a)}$ είναι η $\displaystyle{I(a)=\frac{\pi e^{-a}}{2}}$ και επειδή $\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos(ax)}{x^{2}+1}\,dx=2 I(a)}$ , έπεται το ζητούμενο.

Ολοκλήρωμα - Πλήθος Ριζών.

Ολοκλήρωμα - Πλήθος Ριζών.

Re: Ολοκλήρωμα - Πλήθος Ριζών.

Re: Ολοκλήρωμα - Πλήθος Ριζών.

Re: Ολοκλήρωμα - Πλήθος Ριζών.

Re: Ολοκλήρωμα - Πλήθος Ριζών.

Μέλη σε σύνδεση