βραδυνό ολοκλήρωμα 77

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

βραδυνό ολοκλήρωμα 77

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Μάιος 23, 2010 8:35 pm

Εάν η f είναι φραγμένη και μη αρνητική να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
\displaystyle{\int\limits_0^\infty  f (x + \frac{1}{x})\frac{{\ln (x)}}{x}dx}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 77

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Μάιος 24, 2010 9:18 pm

mathxl έγραψε:Εάν η f είναι φραγμένη και μη αρνητική να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
\displaystyle{\int\limits_0^\infty  f (x + \frac{1}{x})\frac{{\ln (x)}}{x}dx}
Βασίλη μήπως το κάτω άκρο είναι 1, ή ξέρουμε κάτι παραπάνω για την \displaystyle{f};

Ρωτάω διότι αν για παράδειγμα είναι \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell>0}, τότε, αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος, το ολοκλήρωμα αποκλίνει \displaystyle{\boxed{*}}, και αν πάλι είναι \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}, τότε πάλι θαρρώ (χωρίς να είμαι εντελώς σίγουρος) ότι η σύγκλιση ή η απόκλιση του ολοκληρώματος δεν είναι μονοσήμαντα καθορισμένη, αλλά εξαρτάται από την f

\displaystyle{\boxed{*}}: Αν \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell>0}, τότε για δοθέν \displaystyle{\varepsilon} βρίσκω \displaystyle{\delta>0} με \displaystyle{0<x<\delta<1\Rightarrow0<\ell-\varepsilon<f\big(x+\frac{1}{x}\big)<\ell+\varepsilon}.

Επειδή τώρα στο \displaystyle{(0,\delta]} έχουμε \displaystyle{-\frac{\ln x}{x}>\frac{1-x}{x}>0} θα είναι \displaystyle{\int_{0}^{\delta}-f\big(x+\frac{1}{x}\big)\frac{\ln x}{x}\,dx>\int_{0}^{\delta}f\big(x+\frac{1}{x}\big)\frac{1-x}{x}\,dx>(\ell-\varepsilon)\int_{0}^{\delta}\frac{1-x}{x}\,dx=(\ell-\varepsilon)\big((\ln\delta)-\lim_{x\to0^+}\ln x-\delta\big)=+\infty}
τελευταία επεξεργασία από Κοτρώνης Αναστάσιος σε Δευ Μάιος 24, 2010 9:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 77

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Μάιος 24, 2010 9:31 pm

Μχμχμ...έχεις δίκιο. Για παράδειγμα αν η f είναι μια θετική σταθερά πχ 2010 τότε πάλι αποκλίνει. Θέλει και κάποια ακόμη ιδιότητα..Πάντος έχει ωραία λύση


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 77

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Μάιος 24, 2010 9:40 pm

mathxl έγραψε:Μχμχμ...έχεις δίκιο. Για παράδειγμα αν η f είναι μια θετική σταθερά πχ 2010 τότε πάλι αποκλίνει. Θέλει και κάποια ακόμη ιδιότητα..Πάντος έχει ωραία λύση
Έχεις κάποια λύση; Διακρίνει περιπτώσεις εκεί;


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 77

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Μάιος 24, 2010 9:42 pm



Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 77

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Μάιος 25, 2010 6:38 pm

Βασίλη, κατόπιν της υποδείξεώς σου υποθέτω η λύση έχει ως εξής:

Έστω καταρχάς ότι το ολοκήρωμα συγκλίνει.

Τότε \displaystyle{I=\int_{0}^{+\infty}f\Big(x+\frac{1}{x}\Big)\frac{\ln x}{x}\,dx\stackrel{y=1/x}{=}-\int_{0}^{+\infty}f\Big(y+\frac{1}{y}\Big)\frac{\ln y}{y}\,dy=-I\Rightarrow I=0}.

Για την σύγκλιση τώρα νομίζω πως ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι

\displaystyle{\lim_{x\to0^+}\frac{f\Big(x+\frac{1}{x}\Big)}{\frac{(-\ln x)^{k}}{x^{\lambda}}}=1} για κάποια \displaystyle{k,\lambda\in\mathbb{R}} με \displaystyle{k>-2} και \displaystyle{\lambda<0}, δεδομένου ότι ισχύει το ακόλουθο το οποίο θέτω ως άσκηση :


Ας δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{(-\ln x)^{b}}{x^{a}}\,dx} συγκλίνει αν και μόνο αν \displaystyle{b>-1} και \displaystyle{a<1}, όπου \displaystyle{a,b\in\mathbb{R}}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες