μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 41

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 41

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Μάιος 24, 2010 1:08 am

Αν 0 < b < α να υπολογίσετε το
\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{arctan(ax)-arctan(bx)}{x}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 41

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Μάιος 24, 2010 8:53 pm

mathxl έγραψε:Αν 0 < b < α να υπολογίσετε το
\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{arctan(ax)-arctan(bx)}{x}
\displaystyle{I=\int_{0}^{+\infty}\int_{b}^{a}\frac{1}{(yx)^{2}+1}\,dy\,dx\stackrel{Fubini}{=}\int_{b}^{a}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(yx)^{2}+1}\,dx\,dy=\int_{b}^{a}\frac{\tan^{-1}yx}{y}\Big|_{0}^{+\infty}\,dy=\int_{b}^{a}\frac{\pi}{2y}\,dy=\frac{\pi}{2}\ln\frac{a}{b}}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 41

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Μάιος 24, 2010 8:57 pm

Σωστός και πάλι :clap2:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 41

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Μάιος 24, 2010 8:59 pm

Σχετικό ποστ υπάρχει εδώ.

Και κάτι πιο γενικό : (Frullani)

Έστω \displaystyle{f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}} συνεχώς παραγωγίσιμη με \displaystyle{f{'}} μονότονη στο \displaystyle{[0,+\infty)} και \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}=\ell\in\mathbb{R}}. Ας δειχθεί ότι για \displaystyle{a,b>0} είναι

\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{f(bx)-f(ax)}{x}\,dx=(\ell-f(0))\ln\frac{b}{a}}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες