Μία συγκλίνουσα ακολουθία

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώσουμε με $\left [ \cdot, \cdot \right ]$ το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Έστω γνησίως αύξουσα ακολουθία $\left \{ a_n \right \}_{n \in \mathbb{N}}$ θετικών ακεραίων. Να δειχθεί ότι η ακολουθία:

$\displaystyle{\beta_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left [ a_k, a_{k+1} \right ]}}$
συγκλίνει.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Απρ 09, 2023 8:19 pm Ας δηλώσουμε με $\left [ \cdot, \cdot \right ]$ το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Έστω γνησίως αύξουσα ακολουθία $\left \{ a_n \right \}_{n \in \mathbb{N}}$ θετικών ακεραίων. Να δειχθεί ότι η ακολουθία:

$\displaystyle{\beta_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left [ a_k, a_{k+1} \right ]}}$
συγκλίνει.

Ωραίο

Αφού η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα έχουμε $gcd(a_k,a_{k+1})=gcd(a_k,a_{k+1}-a_k)\leq a_{k+1}-a_k$
Έτσι λοιπόν $\displaystyle \beta_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{lcm(a_k,a_{k+1})}=\sum_{k=1}^n\dfrac{gcd(a_k,a_{k+1})}{a_ka_{k+1}}\leq \sum_{k=1}^n\dfrac{a_{k+1}-a_k}{a_ka_{k+1}}=$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{a_k}-\dfrac{1}{a_{k+1}} \right )=\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_{n+1}}<\dfrac{1}{a_1}$ .
Άρα η $(\beta_n)$ είναι άνω φραγμένη και αφού είναι και γνησίως αύξουσα θα συγκλίνει.

Μία συγκλίνουσα ακολουθία

Μία συγκλίνουσα ακολουθία

Re: Μία συγκλίνουσα ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση