Oλοκλήρωμα

vzf · #1

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
$\displaystyle f(a)=\int_{0}^{1}{\frac{\log(x^2-2x\cos{a}+1)}{x}dx}.$

#2

Από τον κανόνα του Leibniz έχουμε

$f'(a)=-2 \int_{0}^{1}\frac{1}{(x-\cos a)^2 +\sin ^2 a}dx=\frac{-2}{\sin ^2 a}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+(\frac{x- \cos a}{\sin a })^2}dx=\frac{-2}{\sin a}[\arctan \frac{x- \cos a }{\sin a}]_{0}^{1}$

Όμως $\frac{1- \cos a}{\sin a}=\tan \frac{a}{2}$ και $\arctan \cot a =\frac{\pi}{2}-a$ και βρίσκουμε τελικά

$f'(a)=\frac{a-\pi}{\sin a}$ ooooops.

Y.Γ. Δουλειά του ποδαριού :spam:

#3

Ελπίζω να μην έχω λάθος. Για $\displaystyle{a\in(k\pi,(k+1)\pi)}$ με $\displaystyle{\in\mathbb{Z}}$ από Leibnitz έχουμε

$\displaystyle{f{'}(a)=\int_{0}^{1}\frac{2\sin a}{x^{2}-2x\cos a+1}\,dx=\frac{2}{\sin a}\int_{0}^{1}\frac{1}{\Big(\frac{x-\cos a}{\sin a}\Big)^{2}+1}\,dx\stackrel{y=\frac{x-\cos a}{\sin a}}{=}2\int_{-\cot a}^{\tan a/2}\frac{1}{y^{2}+1}\,dy=3a-\pi}$ , άρα

$\displaystyle{f(a)=\frac{3a^{2}}{2}-a\pi+c}$ .

Όμως $\displaystyle{f((2k+1)\pi/2)=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x^{2})}{x}\,dx=\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\int_{0}^{1}x^{2n-1}\,dx=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}:=\frac{1}{2}A}$ .

Αλλά $\displaystyle{\zeta(2)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4n^{2}}+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}=\frac{1}{2}\zeta(2)+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}\Rightarrow\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}=\frac{3}{4}\zeta(2)}$ . Συνεπώς

$\displaystyle{A=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4n^{2}}=\frac{1}{2}\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{12}}$ , άρα

$\displaystyle{c=\frac{\pi^{2}}{6}}$ και συνεπώς $\displaystyle{f(a)=\frac{3a^{2}}{2}-a\pi+\frac{\pi^{2}}{6}}$ για $\displaystyle{a\in(k\pi,(k+1)\pi)}$

Για $\displaystyle{a=2k\pi}$ έχουμε παρόμοια ότι $\displaystyle{f(a)=2\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x)}{x}\,dx=-\frac{\pi^{2}}{\color{red}3}}$ και

γγια $\displaystyle{a=(2k+1)\pi}$ ότι $\displaystyle{f(a)=\color{red}2\color{black}\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}\,dx=\frac{\pi^{2}}{\color{red}6}}$ .

Υ.Γ. Γρηγόρη σε ευχαριστώ. Τώρα για το άλλο λαθάκι...ο θεός και η ψυχή μου

vzf · #4

Kάπου είναι λάθος.
Απάντηση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Oλοκλήρωμα

Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση