μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 43

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 43

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Μάιος 28, 2010 12:21 am

Να υπολογίσετε το
\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left( {\ln x} \right)}^n}dx} ,n \in N}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 43

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Μάιος 28, 2010 2:57 am

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το
\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left( {\ln x} \right)}^n}dx} ,n \in N}
\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left( {\ln x} \right)}^n}dx}=x(\ln x)^{n}\Big|_{0}^{1}+(-1)^{1}n\int_{0}^{1}(\ln x)^{n-1}\,dx\stackrel{DLH}{=}-nx(\ln x)^{n-1}\Big|_{0}^{1}+(-1)^{2}n(n-1)\int_{0}^{1}(\ln x)^{n-2}\,dx\stackrel{DLH}{=}}

\displaystyle{\ldots\stackrel{DLH}{=}(-1)^{n-1}n(n-1)\cdot\ldots\cdot2\int_{0}^{1}(\ln x)^{n-(n-1)}\,dx=(-1)^{n-1}n!\Big(x\ln x-x\Big|_{0}^{1}\Big)\stackrel{DLH}{=}(-1)^{n}n!}.

Στο βήμα k κάνουμε n-k φορές del hospital για να υπολογίσουμε το \displaystyle{x(\ln x)^{n-k}\Big|_{0}^{1}}

Αλλιώς : \displaystyle{\int_{0}^{1}(\ln x)^{n}\,dx\stackrel{-\ln x=y}{=}(-1)^{n}\int_{0}^{+\infty}y^{n}e^{-y}\,dy=(-1)^{n}\Gamma(n+1)=(-1)^{n}n!}
τελευταία επεξεργασία από Κοτρώνης Αναστάσιος σε Παρ Μάιος 28, 2010 3:08 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 43

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Παρ Μάιος 28, 2010 3:05 am

Αναστάση με πρόλαβες .... αλλά διαφέρουμε λίγο (μιας και το έγραψα ας το ανεβάσω).
Συνημμένα
ln.png
ln.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 43

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Μάιος 28, 2010 11:19 pm

Μία σύντομη λύση που είδα και βασίζεται στην εξής ισότητα
\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left( {\ln \frac{1}{x}} \right)}^n}dx = \Gamma \left( {n + 1} \right)} }
Μάλιστα την παραπάνω ο λύτης την χαρακτήρισε και ως διάσημη :?
Έχουμε λοιπόν
\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left( {\ln x} \right)}^n}dx}  = {\left( { - 1} \right)^n}\int\limits_0^1 {{{\left( { - \ln x} \right)}^n}dx}  = {\left( { - 1} \right)^n}\int\limits_0^1 {{{\left( {\ln \frac{1}{x}} \right)}^n}dx = {{\left( { - 1} \right)}^n}\Gamma \left( {n + 1} \right)} }


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 43

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Μάιος 29, 2010 1:32 am

mathxl έγραψε:Μία σύντομη λύση που είδα και βασίζεται στην εξής ισότητα
\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left( {\ln \frac{1}{x}} \right)}^n}dx = \Gamma \left( {n + 1} \right)} }
Μάλιστα την παραπάνω ο λύτης την χαρακτήρισε και ως διάσημη :?
Έχουμε λοιπόν
\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left( {\ln x} \right)}^n}dx}  = {\left( { - 1} \right)^n}\int\limits_0^1 {{{\left( { - \ln x} \right)}^n}dx}  = {\left( { - 1} \right)^n}\int\limits_0^1 {{{\left( {\ln \frac{1}{x}} \right)}^n}dx = {{\left( { - 1} \right)}^n}\Gamma \left( {n + 1} \right)} }
Ουσιαστικά είναι η δεύτερη λύση που έχω δώσει. Με την αλλαγή μεταβλητής \displaystyle{\ln x=t} ανάγεται στο ολοκλήρωμα με το οποίο ορίζεται η συνάρτηση Γάμμα.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 43

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Ιουν 05, 2010 10:22 pm

Άλλος ένας τρόπος.

Έχουμε την σχέση \displaystyle{\int_{0}^{1}x^{m}=\frac{1}{m+1}} για \displaystyle{m\in\mathbb{N}_{0}}.

Παραγωγίζοντας \displaystyle{n} φορές τη σχέση ως προς \displaystyle{m} σύμφωνα με τον κανόνα του Leibnitz, προκύπτει ότι

\displaystyle{\int_{0}^{1}(\ln x)^{n}x^{m}\,dx=(-1)^{n}\frac{n!}{(m+1)^{n+1}}}. Θέτουμε τώρα \displaystyle{m=0} στη σχέση και προκύπτει το ζητούμενο.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης