αναγωγικός τύπος ολοκληρώματος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

αναγωγικός τύπος ολοκληρώματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Μαρ 11, 2009 10:12 pm

Νά βρεθεί ένας αναγωγικός τύπος γιά τό ολοκλήρωμα
{\it{\Gamma}}_{\nu}=\displaystyle\int{\frac{x^{\nu}}{\sqrt{x^2+\alpha^2}}\,dx}\,,\quad\alpha\in\mathbb{R},\quad\nu\in\mathbb{N}

[ Άλυτη άσκηση από τό βιβλίο τού Σ. Ντούγια, γιά τήν οποία έχω λύση ]


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: αναγωγικός τύπος ολοκληρώματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τετ Μαρ 11, 2009 10:58 pm

καλησπέρα Γρηγόρη
δίνω μία απάντηση και ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος

\displaystyle \Gamma_{n}=\int\frac{x^n}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int{x^{n-1}\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}=\int{x^{n-1}\frac{(x^2+a^2)\prime}{2\sqrt{x^2+a^2}}}=\int{x^{n-1}}{(\sqrt{x^2+a^2})\prime}=

\displaystyle x^{n-1}\sqrt{x^2+a^2}-\int{(n-1)x^{n-2}\sqrt{x^2+a^2}}dx=

\displaystyle x^{n-1}\sqrt{x^2+a^2}-(n-1)\int{\frac{x^{n-2}(x^2+a^2)}{\sqrt{x^2+a^2}}}dx= 
 
\displaystyle x^{n-1}\sqrt{x^2+a^2}-(n-1)\int{\frac{x^n+a^2x^{n-2}}{\sqrt{x^2+a^2}}}dx= 
 
\displaystyle x^{n-1}\sqrt{x^2+a^2}-(n-1)\int{\frac{x^n}{\sqrt{x^2+a^2}}}dx-(n-1)a^2\int{\frac{x^{n-2}}{\sqrt{x^2+a^2}}}dx
άρα

\Gamma_n=x^{n-1}\sqrt{x^2+a^2}-(n-1)\Gamma_n-(n-1)a^2\Gamma_{n-2},

\Gamma_n=\frac{1}{n}x^{n-1}\sqrt{x^2+a^2}-\frac{n-1}{n}a^2\Gamma_{n-2},με n>1


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: αναγωγικός τύπος ολοκληρώματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Μαρ 11, 2009 11:02 pm

\begin{array}{l} 
 {\Gamma _\nu } = \int {\frac{{{x^\nu }}}{{\sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}} }}} dx = \int {\frac{{{x^{\nu  - 1}} \cdot x}}{{\sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}} }}} dx =  \\  
  = {x^{\nu  - 1}} \cdot \sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}}  - \left( {\nu  - 1} \right)\int {{x^{\nu  - 2}} \cdot \sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}} dx}  =  \\  
  = {x^{\nu  - 1}} \cdot \sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}}  - \left( {\nu  - 1} \right)\int {\frac{{{x^{\nu  - 2}} \cdot \left( {{x^2} + {\alpha ^2}} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}} }}dx}  =\end{array}
\begin{array}{l}{x^{\nu  - 1}} \cdot \sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}}  - \left( {\nu  - 1} \right)\int {\left( {\frac{{{x^\nu }}}{{\sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}} }} + \frac{{{\alpha ^2}{x^{\nu  - 2}}}}{{\sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}} }}} \right)dx}  =  \\  
  = {x^{\nu  - 1}} \cdot \sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}}  - \left( {\nu  - 1} \right){\Gamma _\nu } - \left( {\nu  - 1} \right){\alpha ^2}{\Gamma _{\nu  - 2}} \\  
 {\Gamma _\nu } = \frac{{{x^{\nu  - 1}} \cdot \sqrt {{x^2} + {\alpha ^2}} }}{\nu } - \frac{{\left( {\nu  - 1} \right){\alpha ^2}}}{\nu }{\Gamma _{\nu  - 2}},\nu  \in N,\nu  \ge 3 \\  
 \end{array}
Έχω δώσει ίδια λύση με την Φωτεινή. Μία αλλαγή είναι ότι ν>=3 που μάλλον διέφυγε της Φωτεινής από βιασύνη


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες