μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 48

#2

mathxl έγραψε: $\displaystyle\int_0^1 {\sqrt {\frac{1}{x} - x} } dx$

Είναι $\displaystyle{\int_0^1 {\sqrt {\frac{1}{x} - x} } dx=\int_{0}^{1}x^{-1/2}(1-x^{2})^{1/2}\,dx\stackrel{x^{2}=y}{=}}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y^{-3/4}(1-y)^{1/2}\,dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y^{1/4-1}(1-y)^{3/2-1}\,dy=\frac{1}{2}\mathrm{B}\Big(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\Big)=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)}\mathrm{\Gamma\Big(\frac{3}{2}\Big)}}{\mathrm{\Gamma\Big(\frac{7}{4}\Big)}}\stackrel{\boxed{*}}{=}}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)}\mathrm{\Gamma\Big(\frac{3}{2}\Big)}}{\frac{3}{4}\mathrm{\Gamma\Big(\frac{3}{4}\Big)}}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)}\mathrm{\Gamma\Big(1+\frac{1}{2}\Big)}}{\frac{3}{4}\mathrm{\Gamma\Big(\frac{3}{4}\Big)}}\stackrel{\boxed{**}}{=}\frac{\sqrt{\pi}\mathrm{\Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)}}{3\mathrm{\Gamma\Big(\frac{3}{4}\Big)}}\stackrel{\boxed{***}}{=}\frac{\sqrt{2}\Big(\mathrm{\Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)}\Big)^{2}}{6\sqrt{\pi}}}$

$\displaystyle{\boxed{*}\mathrm{\Gamma}(x+1)=x\mathrm{\Gamma(x)}}$

$\displaystyle{\boxed{**}\mathrm{\Gamma}\Big(n+\frac{1}{2}\Big)=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\sqrt{\pi}}{2^{n}}\quad n\in\mathbb{N}}$

$\displaystyle{\boxed{***}\mathrm{\Gamma}(x)\mathrm{\Gamma}(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}\quad x\not\in\mathbb{Z}}$ .

Η ολοκληρωτέα δεν έχει στοιχειώδη παράγουσα

#3

Μιά δεύτερη επίλυση:

Γιά $m,n\in\mathbb{Q}$ ισχύει $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{m}{t}\,\cos^{n}{t}\,dt}=\frac{\Gamma\bigl({\frac{m+1}{2}}\bigr)\,\Gamma\bigl({\frac{n+1}{2}}\bigr)}{2\,\Gamma\bigl({\frac{m+n}{2}+1}\bigr)}\quad(1)$ .

$\displaystyle\int_0^{1}{\sqrt{\frac{1}{x}-x}\,dx}=\int_0^{1}{\left({1-x^2}\right)^{\frac{1}{2}}\,x^{-\frac{1}{2}}\,dx}\,\mathop{=}\limits^{{\begin{subarray}{c} {x=\sin{t}} \\ {dx=\cos{t}\,dt} \\ \end{subarray}}}\,\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos{t}\,\sin^{-\frac{1}{2}}{t}\,\cos{t}\,dt}=$

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{-\frac{1}{2}}{t}\,\cos^2{t}\,dt}\,\stackrel{(1)}{=}\,\frac{\Gamma\!\left({\frac{-\frac{1}{2}+1}{2}}\right)\Gamma\!\left({\frac{2+1}{2}}\right)}{2\,\Gamma\!\left({\frac{-\frac{1}{2}+2}{2}+1}\right)}=\frac{\Gamma\bigl({\frac{1}{4}}\bigr)\,\Gamma\bigl({\frac{3}{2}}\bigr)}{2\,\Gamma\bigl({\frac{7}{4}}\bigr)}=\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\bigl({\frac{1}{4}}\bigr)}{4\,\Gamma\bigl({\frac{7}{4}}\bigr)}\approx$

$1,748\,.\quad\square$

mathxl · #4

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
mathxl έγραψε: $\displaystyle\int_0^1 {\sqrt {\frac{1}{x} - x} } dx$
Είναι $\displaystyle{\int_0^1 {\sqrt {\frac{1}{x} - x} } dx=\int_{0}^{1}x^{-1/2}(1-x^{2})^{1/2}\,dx\stackrel{x^{2}=y}{=}}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y^{-3/4}(1-y)^{1/2}\,dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y^{1/4-1}(1-y)^{3/2-1}\,dy=\frac{1}{2}\mathrm{B}\Big(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\Big)=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)}\mathrm{\Gamma\Big(\frac{3}{2}\Big)}}{\mathrm{\Gamma\Big(\frac{7}{4}\Big)}}\stackrel{\boxed{*}}{=}}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)}\mathrm{\Gamma\Big(\frac{3}{2}\Big)}}{\frac{3}{4}\mathrm{\Gamma\Big(\frac{3}{4}\Big)}}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)}\mathrm{\Gamma\Big(1+\frac{1}{2}\Big)}}{\frac{3}{4}\mathrm{\Gamma\Big(\frac{3}{4}\Big)}}\stackrel{\boxed{**}}{=}\frac{\sqrt{\pi}\mathrm{\Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)}}{3\mathrm{\Gamma\Big(\frac{3}{4}\Big)}}\stackrel{\boxed{***}}{=}\frac{\sqrt{2}\Big(\mathrm{\Gamma\Big(\frac{1}{4}\Big)}\Big)^{2}}{6\sqrt{\pi}}}$

$\displaystyle{\boxed{*}\mathrm{\Gamma}(x+1)=x\mathrm{\Gamma(x)}}$

$\displaystyle{\boxed{**}\mathrm{\Gamma}\Big(n+\frac{1}{2}\Big)=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\sqrt{\pi}}{2^{n}}\quad n\in\mathbb{N}}$

$\displaystyle{\boxed{***}\mathrm{\Gamma}(x)\mathrm{\Gamma}(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}\quad x\not\in\mathbb{Z}}$ .

Η ολοκληρωτέα δεν έχει στοιχειώδη παράγουσα

Έχουμε ακριβώς την ίδια λύση μόνο που σταμάτησα στο προτελευταίο "=" διότι δεν χρησιμοποίησα την σχέση ***

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 48

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 48

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 48

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 48

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 48

Μέλη σε σύνδεση