Αναδρομική ακολουθία
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Αναδρομική ακολουθία
Θέτουμε , οπότε έχουμε ότι και . Παρατηρούμε ότι , συνεπώς .Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑Παρ Φεβ 23, 2024 3:38 pmΠρόβλημα. Δίδεται ἡ ἀναδρομικὴ ἀκολουθία
Δείξατε ὅτι .
Ισχυρισμός: για κάθε .
Απόδειξη: Άμεσο επαγωγικά. Έχουμε ήδη δείξει την βάση της επαγωγής, ενώ αν , είναι
,
όπως θέλαμε
Θέτουμε τώρα . Παρατηρούμε ότι
,
συνεπώς η ακολουθία είναι αύξουσα για , ενώ από τον Ισχυρισμό είναι και άνω φραγμένη από τον , άρα συγκλίνει στο .
Τώρα, από το Cesàro-Stolz (πληρούνται οι προϋποθέσεις του καθώς η είναι αύξουσα και αποκλίνουσα), έχουμε ότι υπάρχει το όριο της ακολουθίας
,
και μάλιστα ισούται με . Αυτό σημαίνει ότι , άρα (προφανώς ), που δίνει ότι , και άρα , όπως θέλαμε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες