Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 20

#1

Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με $f_n(x)=\dfrac{1}{n}\log\big({x^{\frac{1}{n}}\big({1-x^{\frac{1}{n}}}\big)}\big)\,,\; x\in({0,1})$ .

BAGGP93 · #2

Edit: βρέθηκε λάθος και έσβησα.

#3

Δίνουμε μια λύση:

Για την σημειακή σύγκλιση: Για $x\in({0,1})$ ισχύει

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{\log\big({1-x^{\frac{1}{n}}}\big)}{n}&\overset{\begin{smallmatrix} t=x^{\frac{1}{n}}\\ t\to 1^{-} \end{smallmatrix}}{=\!=\!=}\lim_{t\to 1^{-}}\frac{\log(1-t)}{\frac{\log{x}}{\log{t}}}\nonumber\\ &\stackrel{DHL}{=\!=\!=}\frac{1}{\ln{x}}\lim_{t\to 1^{-}}\frac{-\frac{1}{1-t}}{-\frac{1}{t\log^2{t}}}\nonumber\\ &=\frac{1}{\ln{x}}\lim_{t\to 1^{-}}\frac{t\log^2{t}}{1-t}\nonumber\\ &\stackrel{DHL}{=\!=\!=}\frac{1}{\ln{x}}\lim_{t\to 1^{-}}\frac{\log^2{t}+\frac{2}{t}\log{t}}{-1}\nonumber\\ &=\frac{1}{\ln{x}}\bigg({\lim_{t\to 1^{-}}\log^2{t}+2\lim_{t\to 1^{-}}\frac{\log{t}}{t}}\bigg)\nonumber\\ &=\frac{1}{\ln{x}}\,(0+2\cdot0)=0&&\Rightarrow\nonumber\\ \lim_{n\to\infty}\frac{\log\big({1-x^{\frac{1}{n}}}\big)}{n}&=0\,.&& (1) \end{aligned}$

Επομένως
$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}f_n(x)&=\lim_{n\to\infty}\frac{\log\big({x^{\frac{1}{n}}}\big)}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{\log\big({1-x^{\frac{1}{n}}}\big)}{n}\stackrel{(1)}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{\log{x}}{n^2}+0=0\,. \end{aligned}$

Άρα $f_n(x)\to0\,, \; x\in({0,1})$ .
Για την ομοιόμορφη σύγκλιση: Επειδή

$\begin{aligned} \sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{n^2}}\big)}\big|\\ &=\bigg|{\frac{\log\big({{\rm{e}}^{n}}\big)}{n}+\frac{\log\big({1-{\rm{e}}^{n}}\big)}{n}}\bigg|\\ &=\bigg|{1+\frac{\log\big({1-{\rm{e}}^{n}}\big)}{n}}\bigg|\xrightarrow{n\to\infty}|1+1|=2\neq0\,, \end{aligned}$

έπεται ότι $f_n(x)\not\rightrightarrows 0\,, \; x\in({0,1})$ .

stranger · #4

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 5:38 pm
$\begin{aligned} \sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{n^2}}\big)}\big|\\ \end{aligned}$

Από που έπεται αυτό Γρηγόρη;

#5

stranger έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 6:00 pm

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 5:38 pm
$\begin{aligned} \sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{n^2}}\big)}\big|\\ \end{aligned}$
Από που έπεται αυτό Γρηγόρη;

Σωστά Κωνσταντίνε.
Η τιμή $x={\rm{e}}^{n^2}$ δεν ανήκει στο (0,1)

. Θα το ξαναδώ.
Ευχαριστώ.

#6

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 7:10 pm

stranger έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 6:00 pm

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 5:38 pm
$\begin{aligned} \sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{n^2}}\big)}\big|\\ \end{aligned}$
Από που έπεται αυτό Γρηγόρη;
Σωστά Κωνσταντίνε.
Η τιμή $x={\rm{e}}^{n^2}$ δεν ανήκει στο . Θα το ξαναδώ.
Ευχαριστώ.

Ευτυχώς δεν ήταν δύσκολο. Ισχύει

$\sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{-n^2}}\big)}\big|\xrightarrow{n\to\infty}1\neq0$ ,

οπότε $f_n(x)\not\rightrightarrows 0\,, \; x\in({0,1})$ .

stranger · #7

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 7:24 pm

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 7:10 pm

stranger έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 6:00 pm

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 5:38 pm
$\begin{aligned} \sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{n^2}}\big)}\big|\\ \end{aligned}$
Από που έπεται αυτό Γρηγόρη;
Σωστά Κωνσταντίνε.
Η τιμή $x={\rm{e}}^{n^2}$ δεν ανήκει στο . Θα το ξαναδώ.
Ευχαριστώ.
Ευτυχώς δεν ήταν δύσκολο. Ισχύει

$\sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{-n^2}}\big)}\big|\xrightarrow{n\to\infty}1\neq0$ ,

οπότε $f_n(x)\not\rightrightarrows 0\,, \; x\in({0,1})$ .

Τώρα νομίζω ότι είναι εντάξει. Άρα τελικά δεν συγκλίνει ομοιόμορφα προς το κατά σημείο όριο της.

#8

stranger έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 7:31 pm

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 7:24 pm

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 7:10 pm

stranger έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 6:00 pm

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2024 5:38 pm
$\begin{aligned} \sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{n^2}}\big)}\big|\\ \end{aligned}$
Από που έπεται αυτό Γρηγόρη;
Σωστά Κωνσταντίνε.
Η τιμή $x={\rm{e}}^{n^2}$ δεν ανήκει στο . Θα το ξαναδώ.
Ευχαριστώ.
Ευτυχώς δεν ήταν δύσκολο. Ισχύει

$\sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{-n^2}}\big)}\big|\xrightarrow{n\to\infty}1\neq0$ ,

οπότε $f_n(x)\not\rightrightarrows 0\,, \; x\in({0,1})$ .
Τώρα νομίζω ότι είναι εντάξει. Άρα τελικά δεν συγκλίνει ομοιόμορφα προς το κατά σημείο όριο της.

Σωστά. Και μια αναλυτικότερη απόδειξη είναι η παρακάτω.

$\begin{aligned} \sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{-n^2}}\big)}\big|\\ &=\bigg|{\frac{\log\big({{\rm{e}}^{-n}}\big)}{n}+\frac{\log\big({1-{\rm{e}}^{-n}}\big)}{n}}\bigg|\\ &=\bigg|{-1+\frac{\log\big({1-{\rm{e}}^{-n}}\big)}{n}}\bigg|\xrightarrow{n\to\infty}|{-1+0}|=1\neq0\,, \end{aligned}$

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 20

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 20

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 20

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 20

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 20

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 20

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 20

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 20

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 20

Μέλη σε σύνδεση