Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 21

#1

Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με $f_n(x)=\sinh\big({\tfrac{x}{n}}\big)\,{\rm{sech}}(nx)\,,\;\; x\in\mathbb{R}$ .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Είναι $f_n(x)=\frac{e^{\frac{x}{n}}-e^{-\frac{x}{n}}}{e^{n x}+e^{-n x}}$ ενώ παρατηρούμε ότι $|f_n(x)|=\frac{e^{\frac{|x|}{n}}-e^{-\frac{|x|}{n}}}{e^{n |x|}+e^{-n |x|}}$ .

Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

1) $|x|\le \sqrt{n}$ .

Επειδή $e^{n |x|}+e^{-n |x|}\ge 2$ και η συνάρτηση $e^{x}-e^{-x}$ είναι γνησίως αύξουσα θα έχουμε $|f_n(x)|\le\frac{1}{2} \big(e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-e^{-\frac{1}{\sqrt{n}}}\big)$ .

2) $|x|> \sqrt{n}$ . Σε αυτή την περίπτωση έχουμε $|f_n(x)|\le \frac{e^{\frac{|x|}{n}}}{e^{n |x|}}=e^{|x|\cdot(\frac{1}{n}-n)}$ .

Για $n\ge2$ είναι $n-1\ge1>\frac{1}{n}$ $\Rightarrow \frac{1}{n}-n<-1$ $\Rightarrow |x|\cdot(\frac{1}{n}-n)<-|x|<-\sqrt{n}$ οπότε
$|f_n(x)|<e^{-\sqrt{n}}$ .

Άρα για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και $n\ge2$ μπορούμε να γράψουμε $|f_n(x)-0|<\frac{1}{2} \big(e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-e^{-\frac{1}{\sqrt{n}}}\big)+e^{-\sqrt{n}}$ .

Επειδή $\lim\limits_{n\to +\infty}[\frac{1}{2} \big(e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-e^{-\frac{1}{\sqrt{n}}}\big)+e^{-\sqrt{n}}]=0$ έπεται πως η ακολουθία $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ συγκλίνει ομοιόμορφα (και σημειακά) στη μηδενική συνάρτηση.

#3

Εξαιρετική η λύση του Ιάσονα! Ακολουθεί η λύση που έδωσα ο ίδιος:

$f_n(x)=\sinh\big({\tfrac{x}{n}}\big)\,{\rm{sech}}(nx)=\dfrac {{\rm{e}}^{\frac{x}{n}}-{\rm{e}}^{-\frac {x}{n}}}{{\rm{e}}^{xn}+{\rm{e}}^{-xn}}\,,\;\; x\in\mathbb{R}$ .

Θα αποδειχθεί ότι για κάθε $x\in({0,+\infty})$ και κάθε $n\in\mathbb{N},\,n\geqslant2\,,$ ισχύει:

$\begin{aligned} 0<g_n(x):=\dfrac {{\rm{e}}^{\frac{x}{n}}-{\rm{e}}^{-\frac {x}{n}}}{{\rm{e}}^{xn}-{\rm{e}}^{-xn}}\leqslant\frac{1}{n^2}\,.\qquad(1) \end{aligned}$

Αρκεί, για κάθε $n\in\mathbb{N},\,n\geqslant2$ , να αποδειχθούν τα εξής: $\lim_{x\to +\infty}g_n(x)=0$ και g_n(x)

γνησίως φθίνουσα στο $({0,+\infty})$ με $\lim_{x\to 0^{+}}g_n(x)=\frac{1}{n^2}$ . Πράγματι

$\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}g_n(x)&=\lim_{x\to +\infty}\dfrac {{\rm{e}}^{\frac{x}{n}}-{\rm{e}}^{-\frac {x}{n}}}{{\rm{e}}^{xn}-{\rm{e}}^{-xn}}\\ &=\lim_{x\to +\infty}{\rm{e}}^{(\frac{1}{n}-n)x}\dfrac {1-{\rm{e}}^{-\frac {2x}{n}}}{1-{\rm{e}}^{-2xn}}\\ &=\lim_{x\to +\infty}{\rm{e}}^{(\frac{1}{n}-n)x}\lim_{x\to +\infty}\dfrac {1-{\rm{e}}^{-\frac {2x}{n}}}{1-{\rm{e}}^{-2xn}}\\ &\stackrel{\frac{1}{n}-n<0}{=\!=\!=\!=}0\cdot\frac{1-0}{1-0}=0\,, \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{d}{dx}f_n(x)&=-\frac{{\rm{e}}^{xn-\frac {x}{n}}}{n\,({{\rm{e}}^{2xn}-1})^2} \Big({(n^2-1)\, {\rm{e}}^{\frac{2x(n^2+1)}{n}}+n^2{\rm{e}}^{\frac{2x}{n}}-n^2{\rm{e}}^{2xn}-n^2+{\rm{e}}^{\frac{2x}{n}}-{\rm{e}}^{2xn}+1}\Big) \\ &=-\frac{{\rm{e}}^{xn-\frac {x}{n}}}{n\,( {{\rm{e}}^{2xn}-1})^2} \Big({(n^2-1)\,\big({{\rm{e}}^{\frac{2x(n^2+1)}{n}}+{\rm{e}}^{\frac{2x}{n}}-{\rm{e}}^{2xn}-1}\big)+2}\Big)\\ &=-\frac{{\rm{e}}^{xn-\frac {x}{n}}}{n\,({{\rm{e}}^{2xn}-1})^2} \Big({(n^2-1)\,\big({{\rm{e}}^{2xn+\frac{2x}{n}}+{\rm{e}}^{\frac{2x}{n}}-{\rm{e}}^{2xn}-1}\big)+2}\Big)\\ &=-\underbrace{\frac{{\rm{e}}^{(\frac{1}{n}-n)x}}{n\,( {{\rm{e}}^{2xn}-1})^2}}\limits_{>\,0} \Big({\underbrace{(n^2-1)\,\big({{\rm{e}}^{2xn}+1}\big)\big({{\rm{e}}^{\frac{2x}{n}}-1}\big)}\limits_{>\,0}+\,2}\Big)<0 \end{aligned}$

και

$\begin{aligned} \lim_{x\to 0^{+}}g_n(x)&\stackrel{\text{DHL}}{=\!=}\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac {\frac{1}{n}\,{\rm{e}}^{\frac{x}{n}}+\frac{1}{n}\,{\rm{e}}^{-\frac {x}{n}}}{n\,{\rm{e}}^{xn}+n\,{\rm{e}}^{-xn}}\\ &=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{n^2}\,\dfrac {{\rm{e}}^{\frac{x}{n}}+{\rm{e}}^{-\frac {x}{n}}}{{\rm{e}}^{xn}+{\rm{e}}^{-xn}}\\ &=\frac{1}{n^2}\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac {{\rm{e}}^{\frac{x}{n}}+{\rm{e}}^{-\frac {x}{n}}}{{\rm{e}}^{xn}+{\rm{e}}^{-xn}}\\ &=\frac{1}{n^2}\,\frac{1+1}{1+1}=\frac{1}{n^2}\,. \end{aligned}$

Τότε

$\begin{aligned} \sup_{x\in({0,+\infty})}\big|{f_n(x)-0}\big|&=\sup_{x\in({0,+\infty})}\bigg|{\dfrac {{\rm{e}}^{\frac{x}{n}}-{\rm{e}}^{-\frac {x}{n}}}{{\rm{e}}^{xn}-{\rm{e}}^{-xn}}}\bigg|\,\bigg|{\dfrac {{\rm{e}}^{xn}-{\rm{e}}^{-xn}}{{\rm{e}}^{xn}+{\rm{e}}^{-xn}}}\bigg|\\ &=\sup_{x\in({0,+\infty})}\dfrac {{\rm{e}}^{\frac{x}{n}}-{\rm{e}}^{-\frac {x}{n}}}{{\rm{e}}^{xn}-{\rm{e}}^{-xn}}\,|\tanh(nx)|\\ &\stackrel{(1)}{\leqslant}\sup_{x\in({0,+\infty})}\frac{1}{n^2}\tanh(nx)\leqslant\frac{1}{n^2}\xrightarrow{n\to+\infty}0\,. \end{aligned}$

Συνεπώς $f_n(x)\rightrightarrows 0\,, \; x\in({0,+\infty})$ .
Επειδή f_n(0)=0

και $\big|{f_n(x)}\big|=\big|{f_n(-x)}\big|$ για κάθε $x\in({-\infty,0})$ , έπεται ότι $f_n(x)\rightrightarrows 0\,, \; x\in\mathbb{R}$ .

: sinhsech_small.png (31.83 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 21

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 21

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 21

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 21

Μέλη σε σύνδεση