Υπολογισμός Ολοκληρώματος

#1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\frac{3\sin t-3\cos t+9}{6\sin t-6\cos t+11}}dt$

#2

smar έγραψε:Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\frac{3\sin t-3\cos t+9}{6\sin t-6\cos t+11}}dt$

Το ξέρω πως η βία δεν είναι λύση....Όμως τα ολοκληρώματα του τύπου

$\displaystyle{\int\frac{\ell+m\cos x+n\sin x}{a+b\cos x+c\sin x}\,dx}$ θέτοντας

$\displaystyle{A=\frac{1}{-(b^{2}+c^{2})}\begin{displaymath} \left| \begin{array}{ccc} \ell & a & 0 \\ m & b & c \\ n & c & -b \\ \end{array} \right| \end{displaymath}}$

$\displaystyle{B=\frac{1}{-(b^{2}+c^{2})}\begin{displaymath} \left| \begin{array}{ccc} 1 & \ell & 0 \\ 0 & m & c \\ 0 & n & -b \\ \end{array} \right| \end{displaymath}}$

$\displaystyle{C=\frac{1}{-(b^{2}+c^{2})}\begin{displaymath} \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & \ell \\ 0 & b & m \\ 0 & c & n \\ \end{array} \right| \end{displaymath}}$ και συνάγοντας ότι

$\displaystyle{\ell+m\cos x+n\sin x=A+B(a+b\cos x+c\sin x)+C(-b\sin x+c\cos x)}$ ανάγονται στο

$\displaystyle{\int\frac{1}{a+b\cos x+c\sin x}\,dx}$ το οποίο με τη σειρά του ανάγεται στο $\displaystyle{\int\frac{1}{a+R\cos(x-\theta)}\d(x-\theta)}$ .

Βλέπε Νεγρεπόντη τόμο ΙΙα σελ278-279.

Εδώ τελικά βγάζουμε $\displaystyle{2\pi}$ .

#3

Προέκυψε από παραμετρικοποίηση για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος

$\displaystyle{\int_C\frac{1-y}{(x-2)^2+(y-1)^2}dx+\frac{x-2}{(x-2)^2+(y-1)^2}dy}$

όπου C είναι ο κύκλος (x-1)^2+(y-2)^2=9

Καμμιά ιδέα για πιο εύκολο υπολογισμό ;

#4

smar έγραψε: Καμμιά ιδέα για πιο εύκολο υπολογισμό ;

Μιγαδική ανάλυση (υπόλοιπα), πχ όπως εδώ

#5

Ευχαριστώ πολύ ! Προς το παρόν θα κρατήσω το μετασχηματισμό του jmerry ! (μέχρι να μάθω μιγαδική ανάλυση

)
Η ερώτηση μου αναφερόταν στον υπολογισμό του επικαμπυλίου παρόλα αυτά.
Αυτό μπορούμε να το λύσουμε χωρίς παραμέτρηση ;

#6

smar έγραψε:Προέκυψε από παραμετρικοποίηση για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος

$\displaystyle{\int_C\frac{1-y}{(x-2)^2+(y-1)^2}dx+\frac{x-2}{(x-2)^2+(y-1)^2}dy}$

όπου C είναι ο κύκλος

Καμμιά ιδέα για πιο εύκολο υπολογισμό ;

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Green βρίσκω ότι ισούται με 0. Ίσως όμως κάπου να κάνω λάθος.

#7

Έχει "τρύπα" στο (2,1) άρα δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε Green !! Και αυτό φαίνεται και από τον υπολογισμό του Αναστάση. Το αποτέλεσμα είναι $2\pi$

#8

smar έγραψε:Έχει "τρύπα" στο (2,1) άρα δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε Green !! Και αυτό φαίνεται και από τον υπολογισμό του Αναστάση. Το αποτέλεσμα είναι $2\pi$

Έχεις δίκιο Σιλουανέ. Ο θεματοθέτης έριξε κάτω την μπανανόφλουδα και εγώ πήγα και την πάτησα

#9

smar έγραψε:...Και αυτό φαίνεται και από τον υπολογισμό του Αναστάση...

Λέγε με Wolfram παρακαλώ

#10

Demetres έγραψε: Ο θεματοθέτης έριξε κάτω την μπανανόφλουδα και εγώ πήγα και την πάτησα

Σήμερα την έριξε Δημήτρη !! Οι περισσότεροι την πάτησαν (άλλοι με Green άλλοι με το διαφορικό της συνάρτησης και επειδή είναι πάνω σε κύκλο είπαν ότι είναι 0 και άλλα πολλά). Εγώ έκανα την παραμέτρηση και υπόλογισα το ολοκλήρωμα που έδωσα στην αρχή. Αλλά μου έβγαλε την πίστη !! Γιαυτό ρωτούσα για άλλο τρόπο.

#11

Demetres έγραψε: Ο θεματοθέτης έριξε κάτω την μπανανόφλουδα και εγώ πήγα και την πάτησα

Προς εξιλέωση λοιπόν δίνω μια λύση με λίγη αλλά σημαντική βοήθεια από μιγαδική ανάλυση.

Το ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle{ \oint_{C{'}} \frac{x \; dy - y \;dx}{x^2 + y^2}}$

όπου C{'}

κύκλος που περιέχει το (0,0)

στο εσωτερικό του. Γράφοντας z = x + iy

ο αριθμητής είναι το φανταστικό μέρος του $\bar{z} \;dz$ και ο παρονομαστής ισούται με $\displaystyle{\frac{1}{|z|^2}}$

Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{ \oint_{C{'}} \frac{1}{z} \;dz }$ και να πάρουμε το φανταστικό μέρος.

Είναι γνωστό πως επειδή το (0,0) βρίσκεται μέσα στο C{'}

το ολοκλήρωμα ισούται με $2 \pi i$ .

#12

Demetres έγραψε: Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{ \oint_{C{'}} \frac{1}{z} \;dz }$ και να πάρουμε το φανταστικό μέρος.

Είναι γνωστό πως επειδή το (0,0) βρίσκεται μέσα στο το ολοκλήρωμα ισούται με $2 \pi i$ .

Μια απόδειξη για το πιο πάνω. Έστω C{'}

ο κύκλος

, όπου

. Τότε

$\displaystyle{\displaystyle{ \oint_{C{'}} \frac{1}{z} \;dz = i \int_0^{2\pi} \frac{e^{i\theta}}{w/r + re^{i\theta}} \; d\theta}$

Έστω $\displaystyle{ f(t) = \int_0^{2\pi} \frac{e^{i\theta}}{tw/r + re^{i\theta}} \; d\theta}$

Τότε $f(0) = 2\pi$ και $\displaystyle{ f{'}(t) = \frac{w}{r}\int_0^{2\pi} \frac{e^{i \theta}}{(tw/r + e^{i\theta})^2 } \; d\theta = 0}$

(Η εναλλαγή παραγώγου και ολοκληρώματος επιτρέπεται από τον κανόνα του Leibniz.)

Η τελευταία ισότητα ισχύει επειδή το $\displaystyle{ \frac{e^{i \theta}}{(tw/r + e^{i\theta})^2 }}$ είναι η παράγωγος του $\displaystyle{ -\frac{i}{tw/r + e^{i\theta}}}$

Άρα η συνάρτηση

είναι σταθερή και άρα το f(1)

που μας ενδιαφέρει ισούται με $2\pi$ .

mathxl · #13

Μία όχι κομψή αλλά λεπτομερής λύση
$\displaystyle{\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{3\sin t - 3\cos t + 9}}{{6\sin t - 6\cos t + 11}}} dt = \frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{6\sin t - 6\cos t + 11 + 7}}{{6\sin t - 6\cos t + 11}}} dt = }$

$\displaystyle{ = \pi + \frac{7}{2}\int\limits_0^{2\pi } {\frac{1}{{6\sin t - 6\cos t + 11}}} dt = }$

$\displaystyle{ = \pi + \frac{7}{2}\int\limits_0^\pi {\frac{1}{{6\sin t - 6\cos t + 11}}} dt + \frac{7}{2}\int\limits_\pi ^{2\pi } {\frac{1}{{6\sin t - 6\cos t + 11}}} dt\mathop = \limits_{dt = dk}^{t = k + \pi } }$

$\displaystyle{ = \pi + \frac{7}{2}\int\limits_0^\pi {\frac{1}{{6\sin t - 6\cos t + 11}}} dt + \frac{7}{2}\int\limits_0^\pi {\frac{1}{{ - 6\sin k + 6\cos k + 11}}} dk = }$

$\displaystyle{ = \pi + \frac{7}{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{22}}{{ - 36{{\left( {\sin t - \cos t} \right)}^2} + 121}}} dt = \pi + 77\int\limits_0^\pi {\frac{1}{{121 - 36 + 36\sin 2t}}} dt = }$

$\displaystyle{ = \pi + 77\int\limits_0^\pi {\frac{1}{{85 + 36\sin 2t}}} dt\mathop = \limits_{dt = 2du}^{t = 2u} \pi + 154\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{85 + 36\sin 4u}}} du = }$

$\displaystyle{ = \pi + 154\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{85 + \frac{{72\tan 2u}}{{1 + {{\tan }^2}2u}}}}} du + 154\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{85 + \frac{{72\tan 2u}}{{1 + {{\tan }^2}2u}}}}} du = }$

$\displaystyle{ = \pi + 154\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}2u}}{{85 + 85{{\tan }^2}2u + 72\tan 2u}}} du + 154\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}2u}}{{85 + 85{{\tan }^2}2u + 72\tan 2u}}} du = }$

$\displaystyle{\mathop = \limits_{\left( {1 + {{\tan }^2}2u} \right)du = \frac{{dr}}{2}}^{\tan 2u = r} \pi + 77\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{85 + 85{r^2} + 72r}}} dr + 77\int\limits_{ - \infty }^0 {\frac{1}{{85 + 85{r^2} + 72r}}} dr = }$

$\displaystyle{ = \pi + 77\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{85 + 85{r^2} + 72r}}} dr = \pi + \frac{{77}}{{85}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{1 + {r^2} + 2 \cdot \frac{{36}}{{85}}r + {{\left( {\frac{{36}}{{85}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{36}}{{85}}} \right)}^2}}}} dr = }$

$\displaystyle{ = \pi + \frac{{77}}{{85}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{{{\left( {r + \frac{{36}}{{85}}} \right)}^2} + \frac{{49 \cdot 121}}{{{{85}^2}}}}}} dr\mathop = \limits_{dr = \frac{{77}}{{85}}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx}^{r + \frac{{36}}{{85}} = \frac{{77}}{{85}}\tan x} \pi + \frac{{77}}{{85}}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\frac{{77}}{{85}}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx}}{{\frac{{49 \cdot 121}}{{{{85}^2}}}\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)}}} = }$

$\displaystyle{ = \pi + \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {dx} = \pi + \pi = 2\pi }$

Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός Ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση