Όριο ακολουθίας

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5265
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 19, 2024 6:34 am

Για κάθε n \geq 1 ορίζουμε την ακολουθία

\displaystyle{x_n = \int_{0}^{1} \ln \left ( 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \right ) \ln \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x}
  1. Να δειχθεί ότι \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} x_n =2 .
  2. Να υπολογιστεί το όριο \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n}{\ln n} \left ( 2 - x_n \right ).


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Nikitas K.
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Όριο ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikitas K. » Παρ Απρ 19, 2024 11:40 am

Καλημέρα,

i. Πρέπει \displaystyle\frac{1}{1-x}>0\Leftrightarrow x<1.

\displaystyle x_n = \int_{0}^{1} \ln \left ( 1 + x + x^2 + \dots + x^n \right ) \ln \frac{1}{1-x} \,dx

\displaystyle = \int_{0}^{1} \ln \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \ln \frac{1}{1-x} \,dx, γεωμετρική πρόοδος.

\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{1} \ln \frac{1-x^{n+1}}{1-x}  \ln \frac{1}{1-x} \,dx = \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x}  \ln \frac{1}{1-x} \,dx = \int_{0}^{1} \ln^2 (x-1) \,dx

Θέτωντας, u = x-1 έχουμε:

\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = \int_{1}^{0} -\ln^2 (u) \,du = \int_{0}^{1} \ln^2 (u) \,du

Υπολογίζουμε ξεχωριστά το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμα:
\displaystyle \int \ln^2 (x) \,dx = x\ln^2 x - 2\int \ln x\,dx = x\ln^2 x - 2(xlnx - x) + c = x(\ln^2 x - 2\ln x + 2) + c~,c\in\mathbb{R}

Επομένως,
\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n =  \left[x(\ln^2 x - 2\ln x + 2) \right]_0 ^1 = 2 -\lim_{x\to 0^+} x(\ln^2 x - 2\ln x + 2)

Υπολογίζουμε ξεχωριστά το όριο:
\displaystyle \lim_{x\to 0^+} x(\ln^2 x - 2\ln x + 2) = \lim_{x\to 0^+} x[(\ln x - 1)^2 + 1] = \lim_{x\to 0^+} \frac{2(\ln x -1)\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}

\displaystyle = -2\cdot\lim_{x\to 0^+} x(\ln x - 1) = -2\cdot\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = 2\cdot \lim_{x\to 0^+} x = 0

Τελικά,
\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = 2.


Νικήτας Κακούλλης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο ακολουθίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 19, 2024 11:52 am

Nikitas K. έγραψε:
Παρ Απρ 19, 2024 11:40 am


\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{1} \ln \frac{1-x^{n+1}}{1-x}  \ln \frac{1}{1-x} \,dx = \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x}  \ln \frac{1}{1-x} \,dx
Όπως το βλέπω, το βήμα ότι το όριο περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα θέλει αιτιολόγιση δεδομένου ότι στο δεξί άκρο η συνάρτηση είναι μη φραγμένη.


Nikitas K.
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Όριο ακολουθίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikitas K. » Παρ Απρ 19, 2024 3:18 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Απρ 19, 2024 11:52 am
Nikitas K. έγραψε:
Παρ Απρ 19, 2024 11:40 am


\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{1} \ln \frac{1-x^{n+1}}{1-x}  \ln \frac{1}{1-x} \,dx = \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x}  \ln \frac{1}{1-x} \,dx
Όπως το βλέπω, το βήμα ότι το όριο περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα θέλει αιτιολόγιση δεδομένου ότι στο δεξί άκρο η συνάρτηση είναι μη φραγμένη.
Σας ευχαριστώ για την επισήμανση, όμως για την αιτιολόγηση φοβάμαι πως θα χρειαστεί να μάθω κάτι χρονοβόρο, όπως το Dominated convergence theorem σε ακατάλληλη χρονική περίοδο.


Νικήτας Κακούλλης
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 604
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όριο ακολουθίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Απρ 20, 2024 8:23 pm

Nikitas K. έγραψε:
Παρ Απρ 19, 2024 3:18 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Απρ 19, 2024 11:52 am
Nikitas K. έγραψε:
Παρ Απρ 19, 2024 11:40 am


\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{1} \ln \frac{1-x^{n+1}}{1-x}  \ln \frac{1}{1-x} \,dx = \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x}  \ln \frac{1}{1-x} \,dx
Όπως το βλέπω, το βήμα ότι το όριο περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα θέλει αιτιολόγιση δεδομένου ότι στο δεξί άκρο η συνάρτηση είναι μη φραγμένη.
Σας ευχαριστώ για την επισήμανση, όμως για την αιτιολόγηση φοβάμαι πως θα χρειαστεί να μάθω κάτι χρονοβόρο, όπως το Dominated convergence theorem σε ακατάλληλη χρονική περίοδο.
Με dominated convergence theorem η αιτιολόγηση είναι εντάξει.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες