Ένα άθροισμα!

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \cdot 5^n}{\left ( 5^n - 3^n \right ) \left ( 5^{n+1} - 3^{n+1} \right )}}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 15, 2024 9:10 pm
Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \cdot 5^n}{\left ( 5^n - 3^n \right ) \left ( 5^{n+1} - 3^{n+1} \right )}}$ .

Ισχύει

$\displaystyle{ \frac{3^n \cdot 5^n}{\left ( 5^n - 3^n \right ) \left ( 5^{n+1} - 3^{n+1} \right )}=\frac{1}{2}\left(\frac{5^n}{5^n-3^n}-\frac{5^{n+1}}{5^{n+1}-3^{n+1}}\right)}$ , άρα

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{N} \frac{3^n \cdot 5^n}{\left ( 5^n - 3^n \right ) \left ( 5^{n+1} - 3^{n+1} \right )}}=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{5-3}-\frac{5^{N+1}}{5^{N+1}-3^{N+1}}\right)}$ .

Στο όριο βρίσκουμε $\displaystyle{\frac{1}{2}\left(\frac{5}{2}-1\right)=\frac{3}{4}.}$

Ένα άθροισμα!

Ένα άθροισμα!

Re: Ένα άθροισμα!

Μέλη σε σύνδεση