Κυρτή συνάρτηση

#1

Ο παρακάτω είναι ένας ισχυρισμός, αφού δεν έχω ούτε απόδειξη, ούτε ανταπόδειξη της ισχύος του.

Ισχυρισμός. Έστω $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα

, η οποία είναι παραγωγίσιμη παντού στο

εκτός από ένα αριθμήσιμο σύνολο $P=\{{a_n\;|\; n\in \mathbb{N}}\}$ σημείων του

. Αν

σε κάθε σημείο $a_n\in P$ υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι $f'_{-}({a_n})$ , $f'_{+}({a_n})$ και
για οποιαδήποτε δύο σημεία , του με ισχύει
$f'_{-}({x_1})\leqslant f'_{+}({x_1})\leqslant f'_{-}({x_2})\leqslant f'_{+}({x_2})\,,$

τότε η

είναι κυρτή στο

.

Ερώτηση: Ισχύει το συμπέρασμα αν το

είναι υπεραριθμήσιμο;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 10, 2024 7:50 am
Ο παρακάτω είναι ένας ισχυρισμός, αφού δεν έχω ούτε απόδειξη, ούτε ανταπόδειξη της ισχύος του.

Ισχυρισμός. Έστω $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα , η οποία είναι παραγωγίσιμη παντού στο εκτός από ένα αριθμήσιμο σύνολο $P=\{{a_n\;|\; n\in \mathbb{N}}\}$ σημείων του . Αν

σε κάθε σημείο $a_n\in P$ υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι $f'_{-}({a_n})$ , $f'_{+}({a_n})$ και

για οποιαδήποτε δύο σημεία , του με ισχύει
$f'_{-}({x_1})\leqslant f'_{+}({x_1})\leqslant f'_{-}({x_2})\leqslant f'_{+}({x_2})\,,$

τότε η είναι κυρτή στο .

Ερώτηση: Ισχύει το συμπέρασμα αν το είναι υπεραριθμήσιμο;

Νομίζω ότι δεν χρειάζονται όλες οι προυποθέσεις.

Αν $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα

και
για οποιαδήποτε δύο σημεία x_1

,

του

με

ισχύει
$f'_{-}({x_1})\leqslant f'_{+}({x_1})\leqslant f'_{-}({x_2})\leqslant f'_{+}({x_2})\,,$

τότε η

είναι κυρτή στο

.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 11, 2024 7:43 am
Αν $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και
για οποιαδήποτε δύο σημεία , του με ισχύει
$f'_{-}({x_1})\leqslant f'_{+}({x_1})\leqslant f'_{-}({x_2})\leqslant f'_{+}({x_2})\,,$

τότε η είναι κυρτή στο .

Σταύρο,

1) συμφωνώ στο ότι, μάλλον, η συνθήκη $f'_{-}({x_1})\leqslant f'_{+}({x_1})\leqslant f'_{-}({x_2})\leqslant f'_{+}({x_2})$ αρκεί για να έχουμε κυρτότητα, αλλά η απόδειξη γίνεται ακόμα πιο δύσκολη.

2) Όσον αφορά το ερώτημα για το πλήθος των σημείων όπου η

δεν είναι παραγωγίσιμη, να το θέσω διαφορετικά:
Είναι δυνατόν για μια, συνεχή σε ένα διάστημα

, συνάρτηση $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ , σε κάθε σημείο $x\in I$ να υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι $f'_{-}({x})$ , $f'_{+}({x})$ και να είναι διακριτές; δηλαδή να ισχύει $f'_{-}({x}) \neq f'_{+}({x})$ ;
Αν όχι, πόσα πολλά μπορεί να είναι αυτά τα σημεία;

#4

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 11, 2024 11:41 am
2) Όσον αφορά το ερώτημα για το πλήθος των σημείων όπου η δεν είναι παραγωγίσιμη, να το θέσω διαφορετικά:
Είναι δυνατόν για μια, συνεχή σε ένα διάστημα , συνάρτηση $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ , σε κάθε σημείο $x\in I$ να υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι $f'_{-}({x})$ , $f'_{+}({x})$ και να είναι διακριτές; δηλαδή να ισχύει $f'_{-}({x}) \neq f'_{+}({x})$ ;
Αν όχι, πόσα πολλά μπορεί να είναι αυτά τα σημεία;

Υπάρχει το Θεώρημα του Alexandrov, που λέει ότι κάθε κυρτή συνάρτηση είναι σχεδόν παντού δύο φορές παραγωγίσιμη (ισχύει και στον $\mathbb{R}^n$ ).

Για το παραπάνω, αν

έχει αριστερή και δεξιά παράγωγο σε κάθε σημείο, τότε έχει πεπερασμένες Dini παραγώγους (https://en.wikipedia.org/wiki/Dini_derivative) σε κάθε σημείο, οπότε από το Θεώρημα Denjoy-Young-Saks (https://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2 ... ks_theorem) η

είναι παραγωγίσιμη εκτός ίσως από ένα σύνολο μέτρου 0.
Με άλλα λόγια δεν παίζει ρόλο το αριθμήσιμο ή υπεραριθμήσιμο, αλλά το μέτρο Lebesque.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #5

Ακολουθεί μια απόπειρα απάντησης:

Θα ξεκινήσουμε με το δεύτερο ερώτημα.

Το πλήθος των σημείων του

στα οποία οι πλευρικές παράγωγοι υπάρχουν (πεπερασμένες ή όχι) και διαφέρουν είναι το πολύ αριθμήσιμο,
https://math.stackexchange.com/question ... e-one?rq=1
οπότε το

δεν μπορεί να είναι υπεραριθμήσιμο.

Συνεχίζουμε με το πρώτο ερώτημα και θα δείξουμε ότι η

είναι κυρτή.

Θα θεωρήσουμε ότι το

είναι ανοιχτό διάστημα.
Αποδεικνύοντας την κυρτότητα σε αυτή την περίπτωση μπορούμε αξιοποιώντας τη συνέχεια της

να αποδείξουμε την κυρτότητα της

και στην περίπτωση που το

δεν είναι ανοιχτό διάστημα.

$\bullet$ Κατ' αρχάς διακρίνουμε τα εξής σύνολα
$A_{+} = \{x \in I | f^\prime_- (x)>0 \vee f^\prime_+(x) > 0 \}$
$A_{o} = \{x \in I | f^\prime_- (x)=0 \vee f^\prime_+(x) = 0 \}$
$A_{-} = \{x \in I | f^\prime_- (x)<0 \vee f^\prime_+(x) < 0 \}$
για τα οποία μπορούμε να αποδείξουμε τα εξής:
#1. το $A_{o}$ είναι είτε το $\emptyset$ , είτε μονοσύνολο, είτε μη τετριμμένο διάστημα με την

να είναι παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του A_o

#2. τα $A_{\pm}$ είναι είτε κενά είτε μη τετριμμένα διαστήματα. Επειδή $P\ne\emptyset$ θα πρέπει $A_+\cup A_-\ne\emptyset$
#3. η

είναι σταθερή στο $A_{o}$ , γνησίως αύξουσα στο A_+

και γνησίως φθίνουσα στο A_-

$\bullet$ Από τη μονοτονία και τη συνέχεια της

έπεται ότι αυτή θα είναι συνάρτηση περατωμένης μεταβολής (function of bounded variation) σε κάθε κλειστό διάστημα $[a,b]\subset I$

$\bullet$ Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη σε ένα συναριθμήσιμο (cocountable) σύνολο οπότε έχει την ιδιότητα Luzin N (Luzin N property) $\color{red}(*)$

$\bullet$ Από την υπόθεση ii. της εκφώνησης συμπεραίνουμε ότι η $f^\prime$ είναi αύξουσα στο I-P

και μπορεί να επεκταθεί σε μια συνάρτηση $g\colon I\to \mathbb{R}$ αύξουσα στο

Θα ισχύουν τα εξής:
#1. η

θα έχει αριθμησίμου πλήθους ασυνέχειες
https://math.stackexchange.com/question ... on-is-at-m
#2. σε κάθε $[a,b]\subset I$ η

είναι φραγμένη οπότε θα είναι και κατά Riemann ολοκληρώσιμη
#3. σε κάθε $[a,b]\subset I$ η

θα είναι και κατά Lebesgue ολοκληρώσιμη
#4. σε κάθε $[a,b]\subset I$ η $f^\prime$ ως σχεδόν παντού ίση με τη

θα είναι επίσης κατά Lebesgue ολοκληρώσιμη

$\bullet$ για κάθε $a,b\in I$ θα ισχύει σχεδόν παντού
$a\le x\le b \Rightarrow f^\prime_+ (a)\le f^\prime(x)\le f^\prime_-(b)$
οπότε ολοκληρώνοντας κατά Lebesgue κατά μέλη λαμβάνουμε
$f^\prime_+ (a)(b-a)\le \int_{a}^{b}f^\prime \le f^\prime_-(b)(b-a)$

$\bullet$ Επειδή η

είναι συνεχής, περατωμένης μεταβολής στο [a,b]

και έχει τη Luzin N ιδιότητα
https://en.wikipedia.org/wiki/Luzin_N_property
θα πρέπει να είναι απόλυτα συνεχής (absolutely continuous)
οπότε $\int_{a}^{b}f^\prime=f(b)-f(a)$

Συνεπώς λαμβάνουμε $f^\prime_+ (a)\le \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \le f^\prime_-(b)$
Για κάθε $a,b,c\in I$ με a<b<c

έχουμε λοιπόν ότι
$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \le f^\prime_-(b)\le f^\prime_+(b) \le \dfrac{f(c)-f(b)}{c-b}$ οπότε η

είναι κυρτή $\blacksquare$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Η ιδιότητα $\color{red}(*)$ αναφέρεται στο σχετικό άρθρο της wikipedia για την ιδιότητα Luzin N.
https://en.wikipedia.org/wiki/Luzin_N_property
Δεν μπόρεσα όμως να τη διασταυρώσω με κάποια άλλη αναφορά,
και η προσφερόμενη αιτιολόγισή της (αυτόθι) δε μου είναι κατανοητή αυτή τη στιγμή.

Ευτυχώς όμως το λήμμα 7.25 στο βιβλίο του Rudin
https://59clc.wordpress.com/wp-content/ ... alysis.pdf
που υπάρχει ως αναφορά στο προαναφερθέν άρθρο της wikipedia
φαίνεται ότι μπορεί να εφαρμοστεί απευθείας στην

της εκφώνησης.

Το εν λόγω λήμμα έχει την εξής διατύπωση (προσαρμοσμένο στην

)

Αν $f\colon I\to\mathbb{R}$ και $E\subset I$ με m(E)=0

τότε
$\forall x \in E\$ $\limsup\limits_{y\to x}\left| \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right | < \infty$ $\ \Rightarrow m(f(E))=0$
(το $\limsup$ λαμβάνεται εντός του

)

Από τις υποθέσεις για την

έχουμε για κάθε $x\in I$ ότι
$\limsup\limits_{y\to x}\left| \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right |=\max\{|f^\prime_+(x)|,|f^\prime_-(x)|\}<\infty$
με το $\limsup$ να λαμβάνεται στο

οπότε για οποιοδήποτε σύνολο μηδενικού μέτρου $E\subset I$ η

της εκφώνησης ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του λήμματος
πράγμα που σημαίνει πως έχει όντως την ιδιότητα Luzin N

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Αυτό που ισχύει είναι.
Εστω $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα

.
Αν για κάθε x_1

,

του

με

ισχύει $f'_{+}({x_1})\leqslant f'_{+}({x_2})\,$
τότε η συνάρτηση είναι κυρτή.

Περιγραφή της απόδειξης(Δεν μπορώ να γραψω σε tex)
Είναι γνωστό (ευκολο να αποδειχθεί ) ότι
Αν μια συνάρτηση δεν είναι κυρτή τότε υπάρχουν δύο σημεία της γραφικής παράστασης της ώστε η χορδή που ορίζουν είναι κάτω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης.
Εστω a,b αυτά τα σημεία.
Θεωρώντας την g(x)=f(x)-Ax-B έχουμε ότι g(a)=g(b)=0 και g(x)>0 για a<x<b.
Η δεξιά παράγωγος της g βγαίνει αύξουσα.(συμβολίζω την δεξια παράγωγο με Dg)
Στο [a,b] η g παίρνει μέγιστη τιμή έστω στο c.Προφανώς g(c)>0
Είναι άμεσο ότι Dg(a)>=0 και Dg(c)<=0.
Αρα είναι Dg(x)=0 για x στο [a,c]
Για e>0 ορίζουμε το σύνολο Α={x στο [a,c] :για t στο [a,x] είναι g(t)<=e(t-a)}
To Α μη κενό λόγω του ότι Dg(a)=0.
Αν παρουμε το K=SupA τότε είναι εύκολο να δείξουμε ότι K=c.
Αρα g(c)<=e(c-a) που είναι ΑΤΟΠΟ.

Συμπλήρωμα
Μια άλλη απόδειξη πάει ως εξής.
Επειδή η Df είναι αύξουσα σε ενα υποδιάστημα οι g(n)(x)=(f(x+1/n)-f(x))n είναι φραγμένες και g(n)---->Df
Από το θεώρημα κυριαρχιμένης (Lebesgue ολοκληρώματα ) είναι f(b)-f(a)= ολοκλήρωμα από a εως b της Df
Επειδή η f εκφράζεται με το ολοκλήρωμα της Df και αυτή είναι αύξουσα βγαίνει εύκολα ότι η f είναι κυρτή.

Al.Koutsouridis · #7

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 12, 2024 1:27 am

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Η ιδιότητα $\color{red}(*)$ αναφέρεται στο σχετικό άρθρο της wikipedia για την ιδιότητα Luzin N.
https://en.wikipedia.org/wiki/Luzin_N_property
Δεν μπόρεσα όμως να τη διασταυρώσω με κάποια άλλη αναφορά,
και η προσφερόμενη αιτιολόγισή της (αυτόθι) δε μου είναι κατανοητή αυτή τη στιγμή.

Είμαι λίγο εκτός τον δυνατοτήτων των γνωσεών μου, όμως η παραπάνω ιδιότητα δεν μου "κάθεται" καλά. Η πρώτη ιδιότητα που έχει στον σύνδεσμο που παραπέμπει το λήμμα στο σύνδεσμο Luzin-N-property λέει:

1) Μια συνάρτηση $f \neq const$ στο [a,b]

τέτοια ώστε f'(x)=0

σχεδόν παντού στο [a,b]

δεν έχει την Luzin

ιδιότητα. (παράδειγμα η συνάρτηση Cantor).

Το παραπάνω δεν αντιβαίνει με την πρόταση:

"Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη σε ένα συναριθμήσιμο (cocountable) σύνολο οπότε έχει την ιδιότητα Luzin N"

Καθώς η συνάρτηση Cantor είναι παραγωγίσιμη (με παράγωγο μηδέν) σε συναριθμήσιμο σύνολο;

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 14, 2024 9:02 pm

Είμαι λίγο εκτός τον δυνατοτήτων των γνωσεών μου, όμως η παραπάνω ιδιότητα δεν μου "κάθεται" καλά. Η πρώτη ιδιότητα που έχει στον σύνδεσμο που παραπέμπει το λήμμα στο σύνδεσμο Luzin-N-property λέει:

1) Μια συνάρτηση $f \neq const$ στο τέτοια ώστε σχεδόν παντού στο δεν έχει την Luzin ιδιότητα. (παράδειγμα η συνάρτηση Cantor).

Το παραπάνω δεν αντιβαίνει με την πρόταση:

"Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα συναριθμήσιμο (cocountable) σύνολο οπότε έχει την ιδιότητα Luzin N"

Καθώς η συνάρτηση Cantor είναι παραγωγίσιμη (με παράγωγο μηδέν) σε συναριθμήσιμο σύνολο;

Καλησπέρα,

το σύνολο των σημείων στα οποία η τριμερής (ternary) συνάρτηση Cantor είναι παραγωγίσιμη δεν είναι cocountable, αλλά conull (ή πλήρους μέτρου - full measure)

Το σύνολο των σημείων στα οποία αυτή δεν είναι παραγωγίσιμη είναι ένα υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του (τριμερούς) συνόλου Cantor (το οποίο αν και έχει μηδενικό μέτρο είναι υπεραριθμήσιμο)
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cantor_function

cocountable $\Rightarrow$ conull
conull $\nRightarrow$ cocountable

Al.Koutsouridis · #9

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 14, 2024 10:19 pm

Καλησπέρα,

το σύνολο των σημείων στα οποία η τριμερής (ternary) συνάρτηση Cantor είναι παραγωγίσιμη δεν είναι cocountable, αλλά conull (ή πλήρους μέτρου - full measure)

Το σύνολο των σημείων στα οποία αυτή δεν είναι παραγωγίσιμη είναι ένα υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του (τριμερούς) συνόλου Cantor (το οποίο αν και έχει μηδενικό μέτρο είναι υπεραριθμήσιμο)
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cantor_function

cocountable $\Rightarrow$ conull
conull $\nRightarrow$ cocountable

Καλησπέρα Ιάσωνα. Έχεις δίκιο. Αν βρω χρόνο τις επόμενες μέρες θα μεταφέρω τα επίμαχα κομμάτια από το κείμενο του Luzin, ως βιβλιογραφική αναφορά, σε περίπτωση που φανούν χρήσιμα.

Al.Koutsouridis · #10

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 12, 2024 1:27 am

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Η ιδιότητα $\color{red}(*)$ αναφέρεται στο σχετικό άρθρο της wikipedia για την ιδιότητα Luzin N.
https://en.wikipedia.org/wiki/Luzin_N_property
Δεν μπόρεσα όμως να τη διασταυρώσω με κάποια άλλη αναφορά,
και η προσφερόμενη αιτιολόγισή της (αυτόθι) δε μου είναι κατανοητή αυτή τη στιγμή.

Μεταφέρω μερικά κομμάτια από την διατριβή του Λούζιν «Ολοκλήρωμα και Τριγωνομετρική σειρά» 1915, που νομίζω μπορούν να φανούν χρήσιμα για την μελέτη του συγκεκριμένου λήμματος της Wikipedia.

Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια γενική ματιά στην κατασκευή και ιδιότητες των μετρήσιμων συνόλων και μετρήσιμων συναρτήσεων. Το κύριο αποτέλεσμα αυτού του κεφαλαίου είχε δημοσιευθεί νωρίτερα από τον Λούζιν και έχει να κάνει με την κατασκευή οποιαδήποτε (τυχαίας) μετρήσιμης συνάρτησης. Σύμφωνα με αυτό το αποτέλεσμα οποιαδήποτε μετρήσιμη συνάρτηση είναι συνεχής συνάρτηση αν εξαιρέσουμε ένα σύνολο μέτρου αρκούντος μικρού (όσο μικρό θέλουμε).

Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται αναζήτηση αρχικών συναρτήσεων. Καθώς κάθε αόριστο ολοκλήρωμα είναι αρχική συνάρτηση μιας δοθείσας, προσπαθούμε να βρούμε τον πιο γενικό ορισμό του ολοκληρώματος, με φυσικό τρόπο ερχόμαστε στο πρόβλημα: να βρείτε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε μια δοθείσα συνάρτηση να έχει αρχική.

Σε αυτό το κεφάλαιο δίνουμε την πλήρη λύση αυτού του προβλήματος το οποίο διατυπώνεται ως εξής: για να έχει μια συνάρτηση αρχική, ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι, να είναι μετρήσιμη πεπερασμένη σχεδόν παντού (δηλαδή αν εξαιρέσουμε ένα σύνολο μέτρου μηδέν).

Στο τρίτο κεφάλαιο ερχόμαστε στην αναζήτηση των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων των αόριστων ολοκληρωμάτων. Καθώς κάθε δοθείσα συνάρτηση έχει άπειρο σύνολο αρχικών συναρτήσεων, που δεν διαφέρουν μεταξύ τους κατά σταθερά, τότε με φυσικό τρόπο προκύπτει το ερώτημα, ποια ακριβώς από τις αρχικές είναι το αόριστο ολοκλήρωμα; Δίνουμε την πλήρη λύση αυτού του ερωτήματος για τις περιπτώσεις των αόριστων ολοκληρωμάτων Lebesgue και Denjoy. Για την περίπτωση του αόριστου ολοκληρώματος Lebesgue η χαρακτηριστική ιδιότητα είναι τέτοια: το αόριστο ολοκλήρωμα Lebesgue είναι η καμπύλη (προστρέχουμε στην γλώσσα της γεωμετρίας) με το ελάχιστο μήκος από όλες τις αρχικές καμπύλες. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα για το αόριστο ολοκλήρωμα Denjoy, αναγκαστήκαμε να γενικεύσουμε την έννοια της συνάρτησης περασμένων μεταβολών.

Το θέμα που μελετάται στο τέταρτο κεφάλαιο, μακρά δεν είναι λυμένο με την πληρότητα που λύθηκαν τα προβλήματα των προηγούμενων κεφαλαίων. Σε αυτό το κεφάλαιο θέτουμε το πρόβλημα της εύρεσης στην πιο γενική του περίπτωση αόριστου ολοκληρώματος στην οικογένεια όλων των αρχικών για μια δοθείσα συνάρτηση. Μη λύνοντας αυτό πρόβλημα στην γενικότητά του, περιοριζόμαστε στην παράθεση ειδικών περιπτώσεων που βρέθηκαν από μας σε σχέση με αυτό το ερώτημα: για την ακρίβεια προσδιορίζουμε την «στενή» κλάση αρχικών, στην οποία είναι πιο φυσικό να ψάξουμε το αόριστο ολοκλήρωμα…

Κεφάλαιο 2 .
....
Ορισμός Αν μια συνεχής συνάρτηση F(x)

του διαστήματος [0,1]

έχει παράγωγο σχεδόν παντού στο διάστημα [0,1]

, τότε συμβολίζοντας με f(x)

αυτήν την παράγωγο εκεί, όπου αυτή υπάρχει, λέμε ότι η f(x)

είναι παράγωγος της συνάρτησης F(x)

και η

είναι αρχική συνάρτηση της f(x)

.
...
Βασικό θεώρημα. Για οποιαδήποτε μετρήσιμη συνάρτηση f(x)

, πεπερασμένης σχεδόν παντού στο διάστημα [0,1]

, υπάρχει η αρχική της F(x)

.

… πρώτα από όλα είναι φανερό ότι αν F(x)

είναι αρχική συνάρτησης μιας δοθείσας συνάρτησης f(x)

, τότε αρχική συνάρτηση θα είναι και η F(x)+K

, όπου

τυχαία σταθερά. Για αυτό είναι σημαντικό να απαλείψουμε μια για πάντα την προσθετική σταθερά, που δεν παίζει κάποιο ρόλο στις ιδιότητες της αρχικής. Αυτό το κάνουμε θέτοντας K=-F(0)

. Με αυτό το τρόπο στα επόμενα εξετάζουμε μόνο τις αρχικές F(x)

, για τις οποίες F(0)=0

. Με αυτό δεν χάνουμε την γενικότητα της μελέτης.

Κεφάλαιο 3. Χαρακτηριστικές ιδιότητες αόριστων ολοκληρωμάτων
…

Κεφάλαιο 4. Ιδιότητες Αρχικών Συναρτήσεων
....
Παρ. 47 Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων σε σύνολο μέτρου μηδέν.
...
Ορισμός. Έστω F(x)

κάποια συνεχή συνάρτηση στο [0,1]

. Λέμε ότι η F(x)

στο

κατέχει την Ν-ιδιότητα (νουλ-ιδιότητα, μηδέν ιδιότητα), αν όποιο και να ήταν το σύνολο $\mathfrak{M}$ μέτρου μηδέν, που βρίσκεται στο [0,1]

, οι τιμές της συνάρτησης F(x)

στο $\mathfrak{M}$ σχηματίζουν σύνολο οπωσδήποτε μέτρου μηδέν.
...
Παρ. 48 Συναρτήσεις μηδενικών μεταβολών
....
Ορισμός. Λέμε ότι η συνεχής συνάρτηση F(x)

είναι συνάρτηση μηδενικών μεταβολών στο [0,1]

, αν όποιο και να είναι το σύνολο $\mathfrak{M}$ μέτρου μηδέν και όσο μικρός και αν είναι ένας αριθμός $\epsilon, \epsilon >0$ , πάντα μπορούμε να περικλύσουμε το σύνολο $\mathfrak{M}$ σε μια τέτοια ακολουθία διαστημάτων $\displaystyle{\delta_{1}, \delta_{2}, \ldots , \delta_{n}, \ldots, \quad \sum_{1}^{\infty} length \quad \delta_{n} < \epsilon}$ , ώστε συμβολίζοντας την ταλάντωση της F(x)

στα $\delta_{n}$ με $\omega_{n}$ , έχουμε $\displaystyle{\sum_{1}^{\infty} \omega_{n} < \epsilon}$ .
…

Θεώρημα. Οποιαδήποτε συνάρτηση F(x)

μηδενικών μεταβολών στο [0,1]

κατέχει την N-ιδιότητα.

Παρ. 49

Θεώρημα. Το αόριστο ολοκλήρωμα του Lebesgue ή Denjoy είναι η μοναδική της οικογένειας $\{F(x) \}, F(0)=0$ αρχικών συναρτήσεων που είναι μηδενικών μεταβολών.

Τώρα όσον αφορά το λήμμα στην Wikipedia και σύμφωνα με τα παραπάνω, μπορεί νομίζω να δικαιολογηθεί ως εξής:

Η F(x)

είναι απόλυτα συνεχής στο [0,1]

είναι ισοδύναμο με την ύπαρξη Lebesgue ολοκληρώσιμης συνάρτησης f(x)

στο

, ώστε

$\displaystyle{F(x) =f(0)+ \int_{0}^{x} f(t)dt }$

(Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού Lebesgue). f(x)=F’(x)

σχεδόν παντού.

Αν η F(x)

είναι παραγωγίσιμη θα υπάρχει η αρχική της F(x)

, ολοκλήρωμα Lebesgue. Το ολοκλήρωμα αυτό είναι μεδενικών μεβολών από τα παραπάνω θεωρήματα και ως μηδενικών μεταβολών κατέχει την Ν-ιδιότητα.

#11

Κατ' αρχήν, να ευχαριστήσω όλους τους συμμετέχοντες στην συζήτηση που με την συνεισφορά τους διαφώτισαν το συγκεκριμένο θέμα.

Η διερεύνηση του Ιάσωνα Κωνσταντόπουλου είναι πλήρης και ακριβής.
Για το ερώτημα του αριθμήσιμου πλήθους, μια ακόμα ενδιαφέρουσα συζήτηση μπορεί να βρεθεί στο a-convex-function-is-differentiable-at-all-but-countably-many-points
Η λύση που δίνει ο Σταύρος Παπαδόπουλος -όπως το συνηθίζει- είναι απλή (άρα και έξυπνη) αλλά θέλει αρκετή "δουλεία" από τον αναγνώστη για να γίνει σαφής.

Κυρτή συνάρτηση

Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση