βραδυνό ολοκλήρωμα 81

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

βραδυνό ολοκλήρωμα 81

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιουν 09, 2010 11:20 pm

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
\displaystyle{\int\limits_0^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{x\left( {1 + {x^2}} \right)}} - \frac{{\cos x}}{x}} \right)dx} }


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 81

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Ιουν 10, 2010 4:59 pm

Υπόδειξη 1
Βγάλτε κοινό παράγοντα το 1/χ
Υπόδειξη 2
να κάνετε παραγοντική
Τελικό αποτέλεσμα


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 81

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Ιουν 13, 2012 12:30 am

Χμ .. είχε ξεχαστεί .. Βασίλη μάλλον δεν βοήθησαν οι οδηγίες σου .. :)

Έστω \displaystyle{I\left( z \right) = \int\limits_0^\infty  {\left( {\frac{1}{{x\left( {1 + {x^2}} \right)}} - \frac{{\cos x}}{x}} \right){e^{ - zx}}dx}  = \int\limits_0^\infty  {\left( {\frac{{1 - \cos x}}{x} - \frac{x}{{1 + {x^2}}}} \right){e^{ - zx}}dx} \mathop  = \limits^{\left\lfloor 1 \right\rfloor } \ln \frac{{\sqrt {1 + {z^2}} }}{z} - \int\limits_0^\infty  {\frac{x}{{1 + {x^2}}}{e^{ - zx}}dx} }

Όμως \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{x}{{1 + {x^2}}}{e^{ - zx}}dx} \mathop  = \limits^{\left\lfloor 2 \right\rfloor } \int\limits_0^\infty  {\left( {{e^{ - zx}}\int\limits_0^\infty  {\cos y \cdot {e^{ - yx}}dy} } \right)dx}  = \int\limits_0^\infty  {\cos y\left( {\int\limits_0^\infty  {{e^{ - \left( {y + z} \right)x}}dx} } \right)dy}  = \int\limits_0^\infty  {\frac{{\cos y}}{{y + z}}dy}  = \mathop  = \limits^{y + z = x}  = }

\displaystyle{ = \int\limits_z^\infty  {\frac{{\cos \left( {x - z} \right)}}{x}dx}  = \cos z\int\limits_z^\infty  {\frac{{\cos x}}{x}dx}  + \sin z\int\limits_z^\infty  {\frac{{\sin x}}{x}dx} \mathop  = \limits^{\left\lfloor 3 \right\rfloor }  - \cos z \cdot \left( {\gamma  + \ln z + \int\limits_0^z {\frac{{\cos x - 1}}{x}dx} } \right) + \sin z\int\limits_z^\infty  {\frac{{\sin x}}{x}dx} }

Τότε \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\left( {\frac{1}{{x\left( {1 + {x^2}} \right)}} - \frac{{\cos x}}{x}} \right)dx}  = \mathop {\lim }\limits_{z \to {0} } \int\limits_0^\infty  {\left( {\frac{1}{{x\left( {1 + {x^2}} \right)}} - \frac{{\cos x}}{x}} \right){e^{ - zx}}dx}  = }

\displaystyle{ = \mathop {\lim }\limits_{z \to {0} } \left( {\ln \frac{{\sqrt {1 + {z^2}} }}{z} + \cos z \cdot \left( {\gamma  + \ln z + \int\limits_0^z {\frac{{\cos x - 1}}{x}dx} } \right) - \sin z\int\limits_z^\infty  {\frac{{\sin x}}{x}dx} } \right) = .. = \gamma }

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

\displaystyle{\left\lfloor 1 \right\rfloor \;\& \;\left\lfloor 2 \right\rfloor :} Μετασχηματισμοί Laplace \displaystyle{\int\limits_0^\infty  {\frac{{1 - \cos x}}{x} \cdot {e^{ - zx}}dx}  = \ln \frac{{\sqrt {1 + {z^2}} }}{z}\quad \& \quad \int\limits_0^\infty  {\cos y \cdot {e^{ - yx}}dy}  = \frac{x}{{1 + {x^2}}}}

\displaystyle{\left\lfloor 3 \right\rfloor : - \int\limits_z^\infty  {\frac{{\cos x}}{x}dx}  = \gamma  + \ln z + \int\limits_0^z {\frac{{\cos x - 1}}{x}dx} } Cosine Integral http://mathworld.wolfram.com/CosineIntegral.html

τελευταία επεξεργασία από Σεραφείμ σε Τρί Ιουν 19, 2012 7:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 81

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιουν 13, 2012 11:34 am

Καλημέρα Σεραφείμ (από το σχολείο). Αυτήν την είχα βρει παλιά σε έγγραφο pdf και είχα βάλει τα βήματα λύσης (που είχα δει ) σε απόκρυψη. Εσύ δεν παίζεσαι...πηγαίνεις μόνος σου σαν να έχεις αυτόματο πιλότο :mrgreen: :10sta10:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες