ολοκλήρωμα tan^(1/2)(x)

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

ολοκλήρωμα tan^(1/2)(x)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Μαρ 18, 2009 10:23 pm

\displaystyle\int{\sqrt{\tan{x}}\,dx}

[ έχω κάνει μιά αρκετά μεγάλη επίλυση ]


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: ολοκλήρωμα tan^(1/2)(x)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Μαρ 18, 2009 10:27 pm

Μπορούμε να δούμε εδώ μία προσέγγιση http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=20165


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ολοκλήρωμα tan^(1/2)(x)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Μαρ 18, 2009 10:34 pm

mathxl έγραψε:Μπορούμε να δούμε εδώ μία προσέγγιση ....mathlinks.ro/viewtopic.php?t=20165
Ειλικρινά τούς έχω "ξεχάσει" τούς mathlinkers! Πάντως έχω κάνει τήν ίδια προσέγγιση...


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ολοκλήρωμα tan^(1/2)(x)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Μαρ 20, 2009 5:22 am

Θέτωντας t=\tan{x}, προκύπτει dx=\dfrac{1}{1+t^2}\,dt.

\displaystyle\int{\sqrt{\tan{x}}\,dx}=\int{\frac{\sqrt{t}}{1+t^2}\,dt}\stackrel{u^2\,=\,t}{=}\int{\frac{2u^2}{1+u^4}\,du}=\int{\frac{2u^2}{\left({1+u^2}\right)^2-\left({u\,\sqrt{2}}\right)^2}\,du}=\int{\frac{2u^2}{\left({1+u\,\sqrt{2}+u^2}\right)\left({1-u\,\sqrt{2}+u^2}\right)}\,du}=

\displaystyle\int{\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}\,u}{1+u\,\sqrt{2}+u^2}\,du}+\int{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\,u}{1-u\,\sqrt{2}+u^2}\,du}=

\displaystyle-\frac{\sqrt{2}}{4}\int{\frac{2u+\sqrt{2}-\sqrt{2}}{1+u\,\sqrt{2}+u^2}\,du}+\frac{\sqrt{2}}{4}\int{\frac{2u-\sqrt{2}+\sqrt{2}}{1-u\,\sqrt{2}+u^2}\,du}=

\displaystyle-\frac{\sqrt{2}}{4}\int{\frac{\left({1+u\,\sqrt{2}+u^2}\right)^{\prime}}{1+u\,\sqrt{2}+u^2}\,du}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+u\,\sqrt{2}+u^2}\,du}+\frac{\sqrt{2}}{4}\int{\frac{\left({1-u\,\sqrt{2}+u^2}\right)^{\prime}}{1-u\,\sqrt{2}+u^2}\,du}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1-u\,\sqrt{2}+u^2}\,du}=

\displaystyle-\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left|{1+u\,\sqrt{2}+u^2}\right|+\int{\frac{1}{1+\left({1+u\,\sqrt{2}}\right)^2}\,du}+\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left|{1-u\,\sqrt{2}+u^2}\right|+\int{\frac{1}{1+\left({1-u\,\sqrt{2}}\right)^2}\,du}+c_1=

\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left|{\tfrac{1-u\,\sqrt{2}+u^2}{1+u\,\sqrt{2}+u^2}}\right|+\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left({1+u\,\sqrt{2}}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left({1-u\,\sqrt{2}}\right)+c\stackrel{u\,=\,\sqrt{\tan{x}}}{=}

\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left|{\tfrac{1-\sqrt{2\,\tan{x}}+\tan{x}}{1+\sqrt{2\,\tan{x}}+\tan{x}}}\right|+\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left({1+\sqrt{2\,\tan{x}}}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left({1-\sqrt{2\,\tan{x}}}\right)+c=\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left|{\tfrac{1-\sqrt{2\,\tan{x}}+\tan{x}}{1+\sqrt{2\,\tan{x}}+\tan{x}}}\right|+\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\tfrac{1}{\tan{x}}+c.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης