μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 55

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
$\int_{0}^\infty\int_{0}^\infty\;\sin\,(x^{2}+y^{2})\;\;dx\;dy\;}$

#2

mathxl · #3

Oh yes from all δε μεριές

Μια άλλη λύση πάλι με χρήση φρέσνελ
Ας ονομάσουμε Ρ το ζητούμενο ολοκλήρωμα τότε
$4 P=\left(\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }\sin\left(x^{2}+y^{2}\right)dxdy\right)$

$\left(\int_{-\infty }^{\infty }\cos\left(y^{2}\right)\, dy\right)\left(\int_{-\infty }^{\infty }\sin\left(x^{2}\right)\, dx\right)+\left(\int_{-\infty }^{\infty }\cos\left(x^{2}\right)\, dx\right)\left(\int_{-\infty }^{\infty }\sin\left(y^{2}\right)\, dy\right)$

το οποίο ισούται με $\pi$ αφού ισχύει
$A=\int_{-\infty }^{\infty }\cos\left(t^{2}\right)\, dt=\int_{0}^{\infty }\frac{\cos (t)}{\sqrt{t}}\, dt=\Re\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\infty }\frac{t^{-\frac{1}{2}}}{e^{t}}\, dt\right)$
με $\int_{0}^{\infty }\frac{\frac{1}{\sqrt{t}}}{e^{t}}\, dt =\sqrt{\pi }$

και από το πραγματικό μέρος είναι $\int_{-\infty }^{\infty }\cos\left(t^{2}\right)\, dt=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 55

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 55

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 55

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 55

Μέλη σε σύνδεση