Ερώτηση μέ tan καί arctan

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Ερώτηση μέ tan καί arctan

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Ιούλ 03, 2010 11:04 am

Γιά x>0, ισχύει

\displaystyle\tan\Bigl({\tfrac{{\arctan \sqrt x }}{2}} \Bigr)=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x+1}} ;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ερώτηση μέ tan καί arctan

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Ιούλ 03, 2010 12:59 pm

grigkost έγραψε:Γιά x>0, ισχύει

\displaystyle\tan\Bigl({\tfrac{{\arctan \sqrt x }}{2}} \Bigr)=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x+1}} ;
Ισχύει και για \displaystyle{x\geq0}.

Για \displaystyle{x>0} η παράγωγος στα αριστερά είναι

\displaystyle{\frac{1}{4\sqrt{x}(x+1)}\frac{1}{\cos^{2}\Big(\frac{\tan^{-1}\sqrt{x}}{2}\Big)}=\frac{1}{4\sqrt{x}(x+1)}\frac{2}{1+\cos(\tan^{-1}\sqrt{x})}\stackrel{\boxed{*}}{=}}

\displaystyle{\frac{1}{4\sqrt{x}(x+1)}\frac{2}{1+\frac{1}{\sqrt{1+x}}}=\cdots=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}(1+\sqrt{1+x})}}.

Παραγωγίζοντας και στα δεξιά παίρνουμε το ίδιο.

Θέτοντας τώρα όπου \displaystyle{x} το \displaystyle{3} παίρνουμε και στα δυο μέλη της αρχικής \displaystyle{\sqrt{3}/3}, άρα οι αρχικές ταυτίζονται στο \displaystyle{[0,+\infty)}.

\displaystyle{\boxed{*}} Για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}} ισχύει \displaystyle{\cos(\tan^{-1}(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}}.

Αυτό για να το αποδείξουμε, αρκεί να αποδείξουμε ότι

\displaystyle{\cos(\tan^{-1}(\tan u))=\frac{1}{\sqrt{1+\tan u^{2}}}\,\,\,\forall u\in(-\pi/2,\pi/2)\Leftarrow}

\displaystyle{\cos ^{2}u=\frac{1}{1+\tan u^{2}}\,\,\,\forall u\in(-\pi/2,\pi/2)} που ισχύει.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Ερώτηση μέ tan καί arctan

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Σάβ Ιούλ 03, 2010 1:27 pm

:clap2: :clap2:
Συνημμένα
Gri.jpg
Gri.jpg (19.4 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ερώτηση μέ tan καί arctan

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Ιούλ 03, 2010 1:41 pm

Μόλις βάλατε τήν τελευταία πινελιά σέ μία λύση τού Βασίλη (mathxl) στό Ολοκλήρωμα.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ερώτηση μέ tan καί arctan

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Ιούλ 03, 2010 1:45 pm

grigkost έγραψε:Μόλις βάλατε τήν τελευταία πινελιά σέ μία λύση τού Βασίλη (mathxl) στό Ολοκλήρωμα.
Ώπα! πολύ καλό! Πού το θυμήθηκες το ποστ αυτό; :P

Ας βάλουμε εδώ για να υπάρχουν και τρια links με παρόμοιου τύπου ταυτότητες που μου έστειλε ο Γρηγόρης.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες