Aθροισμα 4

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

antegeia: Δημοσιεύσεις: 126; Εγγραφή: Σάβ Ιαν 31, 2009 3:10 pm

Aθροισμα 4

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από antegeia » Σάβ Ιούλ 10, 2010 10:47 pm

$\sum_{k=0}^{n}\frac{k^2+4k+2}{(k+1)(k+2)}\bigl(\begin{smallmatrix}n\\k\end{smallmatrix}\bigr)=;$

Ετικέτες:

άθροισμα

Demetres: Γενικός Συντονιστής; Δημοσιεύσεις: 9010; Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm; Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα; Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Ιστοσελίδα

Re: Aθροισμα 4

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 15, 2010 1:28 pm

$\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac{k^2 + 4k + 2}{(k+1)(k+2)} \binom{n}{k} = \sum_{k=0}^n \left(1 + \frac{1}{k+1} - \frac{2}{(k+1)(k+2)} \right)\binom{n}{k} }$

Έχουμε

$\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n}$

$\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom{n}{k} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{k+1} = \frac{1}{n+1}(2^{n+1} - 1)}$

και

$\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)} \binom{n}{k} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{(n+1)(n+2)} \binom{n+2}{k+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}(2^{n+2} - 1 - (n+2))}$

Άρα

$\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac{k^2 + 4k + 2}{(k+1)(k+2)} \binom{n}{k} =\cdots = \frac{(n^2 + 5n-2)2^n + (n+4)}{(n+1)(n+2)}}$

Απάντηση

2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης