Εύρεση ορίου

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

antegeia
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 31, 2009 3:10 pm

Εύρεση ορίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από antegeia » Κυρ Ιούλ 18, 2010 3:15 am

Να υπολογιστεί το όριο

\lim_{n\rightarrow \infty}\biggl({\frac{1+\sum_{k=1}^{n}{\frac{n^k(1+n^k)}{1+n^{2k}}}}{n+1}}\biggr)^{\frac{1}{n(n+1)}}

Edit από ΓΣ: Μπήκαν τόνοι στις λέξεις, όπως απαιτούν τα σωστά ελληνικά (και οι κανονισμοί μας).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Ευρεση οριου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Σάβ Απρ 14, 2012 10:50 am

antegeia έγραψε:Να υπολογιστει το οριο

\lim_{n\rightarrow \infty}\biggl({\frac{1+\sum_{k=1}^{n}{\frac{n^k(1+n^k)}{1+n^{2k}}}}{n+1}}\biggr)^{\frac{1}{n(n+1)}}
Χμ .. αρκετά παλιό θέμα ..

Ισχύει \displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{n^k}\left( {{n^k} + 1} \right)}}{{{n^{2k}} + 1}}}  = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{n^{2k}} + {n^k}}}{{{n^{2k}} + 1}}}  \geqslant \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{n^{2k}} + 1}}{{{n^{2k}} + 1}}}  = n} . Επίσης \displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{n^k}\left( {{n^k} + 1} \right)}}{{{n^{2k}} + 1}}}  = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{{n^{2k}} + 1}}{{{n^{2k}} + 1}} + \frac{{{n^k} - 1}}{{{n^{2k}} + 1}}} \right)}  = n + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{n^k} - 1}}{{{n^{2k}} + 1}}}  \leqslant 2n} .

Τότε \displaystyle{\frac{{1 + n}}{{1 + n}} \leqslant \frac{{1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{n^k}\left( {{n^k} + 1} \right)}}{{{n^{2k}} + 1}}} }}{{n + 1}} \leqslant \frac{{1 + 2n}}{{n + 1}} \leqslant 2 \Rightarrow 1 \leqslant {\left( {\frac{{1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{n^k}\left( {{n^k} + 1} \right)}}{{{n^{2k}} + 1}}} }}{{n + 1}}} \right)^{\dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}}} \leqslant {2^{\dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}}}}
Επομένως (κριτήριο παρεμβολής) \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{n^k}\left( {{n^k} + 1} \right)}}{{{n^{2k}} + 1}}} }}{{n + 1}}} \right)^{\dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}}} = 1}


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες